Вступ до алгебричної геометрії/Афінна геометрія

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Афінна геометрія[ред.]

Векторний формалізм[ред.]

Інтуїтивно вектор розуміється як об'єкт, що має величину, напрямок і (необов'язково) точку прикладання. Зачатки векторної лічби з'явилися разом з геометричною моделлю комплексних чисел. Операції з векторами опублікував Гамільтон як частину свого кватерніонної лічби (вектор утворювали уявні компоненти кватерніона). Гамільтон запропонував сам термін вектор (лат. vector, «той що несе») і описав деякі операції векторного аналізу. Цей формалізм використовував Максвелл у своїх працях з електромагнетизму, тим самим привернувши увагу вчених до нового способу лічби.

Векторний простір[ред.]

Виділимо у лінійному просторі підпростір Для пари елементів визначмо бінарне відношення яке назвемо порівнянням відносно Вважаймо тоді, коли тобто коли де Таке порівняння називається відношенням еквівалентності і має наступні властивості:

Відношення еквівалентності розшаровує на класи порівнюваних між собою елементів: кожний клас складається із сукупності таких елементів, котрі є порівнюваними відносно із яким-небудь одним елементом, який називається представником цього класу. Класи еквівалентності будемо позначати у квадратних дужках, наприклад, клас, утворюваний порівнюваними із представником позначмо через

Класи мають наступні властивості:

На множині усіх класів уведімо дві алгебричні операції - додавання й множення на скаляр, вважаючи

Визначені таким чином операції є незалежними від вибору представників класів. Зокрема, якщо то Відповідно, де Відповідно, та Тому

Ці операції задовільняють усім вимогам, щоб фактормножина була лінійним простором над полем Ця множина називається фактопростором по підпростору й позначається Нульовим елементом цього простору є клас Таким чином, відображення є лінійним відображенням простору на факторпростір Таке відображення називається канонічною проекцією.


Евклідова геометрія[ред.]

Лінійний простір називається евклідовим простором, якщо у векторному просторі визначений скалярний добуток, тобто є евклідовим векторним простором. Пара є -вимірним евклідовим простором, якщо вектори (елементи множини ) та точки (елементи множини ) задовільняють наступним аксіомам.


(Група аксіом 1) Аксіоми додавання векторів.

1. Додавання векторів є комутативним, тобто для будь-яких векторів справджується рівність

2. Додавання векторів є асоціативним, тобто для будь-яких векторів справджується рівність

3. У множині існує такий елемент який називається нульовим вектором (або просто нулем), що для будь-якого вектора справджується рівність

4. Для будь-якого елемента знайдеться такий елемент який називається протилежним до вектора що


(Група аксіом 2) Аксіоми множення вектора на число.

1. Множення векторів на числа є асоціативним, тобто для будь-якого вектора та будь-яких дійсних чисел справджується рівність

2. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до чисел, тобто для будь-якого вектора та довільних дійсних чисел справджується рівність

3. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до векторів, тобто для довільних векторів та довільного дійсного числа справджується рівність

4. Для будь-якого вектора справджується рівність де - ідемпотент (одиниця).


(Група аксіом 3). Аксіоми розмірності.

1. У векторному просторі можна знайти лінійно незалежних векторів. Це значить, що у будь-якому -вимірному векторному просторі можна віднайти базис.

2. Будь-які векторів векторного простору є лінійно незалежними.

Векторний простір (за деякого значення ), який задовільняє цим аксіомам, називається -вимірним векторним простором (або векторним простором розмірності символічно ).


(Група аксіом 4) Аксіоми скалярного добутку.

1. Скалярний добуток є комутативним, тобто для будь-яких векторів та справджується співвідношення

2. Скалярний добуток є дистрибутивним, тобто для будь-яких трьох векторів справджується рівність

3. Для будь-яких векторів та будь-якого дійсного числа справджується рівність

4. Для будь-якого відмінного від нуля вектора скалярний добуток цього вектора на себе (тобто скалярний квадрат ) є додатним: за

Множина яка задовільняє цим аксіомам, називається -вимірним евклідовим векторним простором.


(Група аксіом 5) Аксіоми проведення векторів.

1. Для будь-якої точки та будь-якого вектора знайдеться точка що (знаходження такої точки називається проведенням вектора від точки ).

2. Для будь-яких трьох точок справджується співвідношення

3. Якщо для точок справджується рівність то точки та співпадають.

Пара називається також -вимірним афінним простором, якщо будь-яким двом точкам поставлений у відповідність деякий вектор, який позначається (і який належить до векторного простору ), за виконання п'ятої групи аксіом.

Таким чином, евклідовий простір - це скінченновимірний афінний (лінійний) простір над полем дійсних чисел, у якому для кожної пари векторів визначений скалярний добуток, тобто із наступними властивостями:

Такий простір розмірності позначається Евклідовий простір розмірності геометрично представляється як звичайна пряма лінія (числова пряма)

У просторі уводиться норма (довжина) вектора

Найважливіші властивості евклідових просторів:

  • - нерівність Коші-Буняковського;
  • - нерівність трикутника;
  • - закон паралелограма.


Топологія евклідового простору[ред.]
Куля утворюється обертанням напівдиску навколо його нерухомого діаметру. Сфера - це поверхня замкнутої кулі, тобто сукупність усіх граничних точок кулі, які знаходяться на відстані від точки . Відкрита куля не містить граничних точок, тобто її не огортує сфера. Іншими словами, відкрита куля - це сукупність усіх точок, зосереджених у

Нехай - довільна точка евклідового простору та - додатне число. Множина усіх точок які задовільняють умові називається відкритою кулею із центром й радіусом Будемо позначати відкриту кулю Нехай - дектра множина у топологічному просторі Точка називається внутрішньою точкою множини якщо існує таке додатне число за якого

Множина називається відкритою у просторі якщо кожна точка є внутрішньою точкою цією множини, тобто Наприклад, будь-яка куля у є відкритою множиною. Справді, нехай тобто Вважаймо Число є додатним, відтак можна розглянути кулю із центром у точці та радіусом Для довільної точки яка належить цій кулі, тобто маємо відтак:

Таким чином, тобто Цим самим ми переконалися у включенні яке означає, що куля є відкритою множиною.

Множина називається замкнутою, якщо її доповнення (тобто множина усіх точок простору які не містяться у ) є відкритою множиною. Наприклад, куля із центром й радіусом тобто множина усіх точок які задовільняють умові є замкнутою множиною. Справді, доповненням цієї замкнутої кулі є множина усіх точок які задовільняють умові Число є додатним, тому можна розглянути кулю Якщо тобто то

тобто і тому Таким чином, в силу включення множина є відкритою.

Нехай - множина простору Розгляньмо усі замкнуті множини, що містять через позначмо перетин усіх цих замкнутих множин. Об'єднання будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною та перетин скіченного числа відкритих множин є відкритою множиною; перетин будь-якого числа замкнутих множин є замкнутою множиною та об'єднання скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Відтак, множина є замкнутою, прочому вона є найменшою замкнутою множиною, що містить (тобто, якщо є замкнутою множиною, яка містить то ). Множина називається замиканням множини

Нехай Точка лише у тому випадку належить якщо за будь-якого куля містить хоча б одну точку множини Точка називається граничною точкою множини якщо за будь-якого куля містить як точки, що належать так й точки, які не належать цій множині. Множина, яка складається із усіх граничних точок множини називається границею множини й позначається Таким чином, Так само де - доповнення множини Зокрема, Справедливим є й зворотне вкючення, Операція замикання означає приєднання до множини усіх її граничних точок: У термінах границі відкриті та закмкнуті множини можна визначити наступним чином: множина замкнута, якщо вона містить свою границю, множина є відкритою, якщо вона не має спільних точок із своєю границею,

Пригадаймо також поняття неперервного відображення. Нехай та - евклідові простори та Припустімо, що задане відображення тобто кожній точці поставлена у відповідність деяка точка простору Множина є областю визначення відображення тобто Відображення називається неперервним, якщо для кожної точки й кожного числа можна підібрати таке число що Це значить, що якщо точка відстає від точки менш ніж на (тобто ), то образ точки відстає від менше, ніж на тобто Відзначмо, що число залежить від точки та від числа тобто

Якщо простір співпадає із числовою прямою то неперервне відображення називається неперервною функцією.