Вступ до алгебричної геометрії

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ця книга є суспільним електронним надбанням.

Передмова[ред.]

Алгебрична геометрія (УДК 512.7) - підрозділ алгебри, в рамках якого геометрія мислиться з точки зору вищої (загальної) алгебри. До алгебричної геометрії необхідно підійти, відтак ми почнемо з самого початку, розглянувши деякі елементарні відомості, які допоможуть краще зрозуміти основні поняття.

Елементарна математика[ред.]

Квантифікація — це акт підрахунку і вимірювання, який відображає людські почуття спостереження та переживання у величини. Числа, які використовуються при лічбі предметів, називаються натуральними. Вони записуються за допомогою цифр - літер так званої арабської (або індійської) системи позначень, знаків: Цифра і число - це різні поняття. Цифра - це лише літера, а число - слово, що записується за допомогою цифр по певним правилам. На відміну від слів натуральної мови (зокрема, української), які читаються зліва направо, математичні слова читаються зправа наліво. Для зручності читання числа його поділяють зправа наліво на класи (групи) по три цифри (розряди) у кожному. Таким чином, у числі два класи: 778 одиниць та 808 тисяч. Це число можна записати у вигляді суми розрядних доданків: Цифра нуль у цьому числі вживається для позначення відсутності розряду десятків тисяч.

Класи Третій

клас

Другий

клас

Перший

клас

Мільйони Тисячі Одиниці
Розряд сотні мільйонів десятки мільйонів одиниці мільйонів сотні тисяч десятки тисяч одиниці тисяч сотні десятки одиниці
Номер розряду IX VIII VII VI V IV III II I
Число 1 3 5 2 1 0 4 2 1
8 6 4 1 0 0 1 0
7 4 0 0 0 0

Така система лічби називається позиційною десятковою системою лічби. Для позначення номерів розрядів використана римська нумерація, яка є непозиційною системою лічби. Її абетка складається лише з восьми літер: Кожна літера позначає відповідне їй число. У цьому випадку говорять про вузлові числа.

Вузлові числа
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000

Решта чисел записується за допомогою комбінацій цих літер, повторюючи однакові літери за певними правилами - такі числа називаються алгорифмічними. Наприклад, алгорифмічними числами є - два, - три, - чотири, - шість, - сім, - вісім, - дев'ять, - дев'ятнадцять, - двадцять один, - двадцять дев'ять, - тридцять один тощо. Якщо менша за значенням літера стоїть перед більшою за значенням, то значення меншої віднімається від значення більшої літери. Наприклад, - сорок дев'ять, - сорок п'ять, - двадцять чотири. Таким чином, наприклад, алгорифмічне число буде мати значення тисяча п'ятсот сорок сім.

Принцип позиційності, у свою чергу, базується на двох принципах:

  • мультиплікативності;
  • відкидання при письмі розрядових одиниць.

Завершується позиційна система уведенням нуля. З алгебричної точки зору запис числа 20 у вигляді чи є виразом закону дистрибутивності,

або

Таким чином, мультиплікативна форма запису означає, що при лічбі певна множина одиниць першого розряду приймається за одиницю наступного розряду, певна множина одиниць другого розряду приймається, у свою чергу, за одиницю третього розряду тощо. Це досягається за допомогою того, що для виразу відомої кількості одиниць різних розрядів застосовуються одні і ті самі числові символи (літери), після яких відзначається, до якого розряду належать облічені одиниці. Цим самим записом підкреслюється, що об'єктами лічби можуть бути елементи будь-якої природи (речі, живі істоти, їх десятки, сотні, тисячі тощо). А це виражає найважливішу властивість абстрактного числа бути універсальним.

Дії із числами[ред.]

Дії першого ступеня.

Додавання. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна складати. Наприклад, якщо зранку у корзині було 5 яблук, а в обід туди поклали ще 3 яблука, то яблук стане на 3 більше, тобто вісім: При цьому число позначає перший доданок, число позначає другий доданок, а після знаку записане число яке називається сумою доданків, записаних у лівій частині відносно знаку

Віднімання. Числа, які використовуються для лічби предметів, можна віднімати один від одного. Наприклад, якщо ввечері у корзині було 8 яблук, а зранку з нього вилучили 6 яблук, то після цього у корзині залишилося 2 яблука: При цьому число називається зменшуваним, число - від'ємником, а число - різницею.

Дії другого ступеня.

Множення. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна множити. Наприклад, якщо зранку у корзині містилося 2 яблука, а в обід до корзини поклали у 3 рази більше яблук, то після цього у ньому стало 8 яблук: При цьому перше число називається доданком, друге число називається першим множником, число називається другим множником, а число - сумою доданка та добутку першого і другого множників.

Ділення. Числа, що використовуються для лічби предметів, можна розділювати. Наприклад, якщо в обід у корзині було 8 яблук, а ввечері їх кількість зменшилася вдвічі, то після цього у корзині стало 4 яблука: При цьому число називається діленим, число називається дільником, а число називається часткою від ділення дільника на ділене

Порядок виконання дій. Дії з числами виконуються послідовно, зліва направо. Ступінь дії визначає її пріорітет щодо виконання. Чим вищий ступінь дії, тим вищим пріорітетом ця дія наділена. Таким чином, у записі спочатку виконується множення, а потім додавання: Таким самим чином ділення має більший пріорітет ніж додавання та віднімання. Наприклад, у записі спочатку виконується дія ділення , потім дія додавання , а в кінці - дія віднімання .

Якщо у записі використовуються дужки, то спочатку виконується вираз у дужках згідно до ступенів операцій. Наприклад, у записі спочатку виконуються дії у дужках відповідно до ступенів дій: спочатку ділення потім додавання коли дії у дужках виконані, виконуються обчислення у звичайному порядку згідно до ступенів дій, зокрема, множення а потім віднімання Якщо ж записи в дужках вкладені до інших дужок, то спочатку виконуються дії у внутрішніх дужках. Наприклад, у записі спочатку виконуються дії у внутрішніх дужках згідно до ступенів: спочатку потім потім та, нарешті, Це правило розповсюджується на довільну кількість вкладень дужок.

Вирази[ред.]

Запис, який складається з чисел, знаків дій та дужок називається числовим виразом. При цьому окремо взяте число також є виразом. Наприклад, серед записів

числовими виразами є записи Записи не є числовими виразами, оскільки вони містять знак рівності.

Вперше використовувати літери абетки для позначення чисел почав Франсуа Вієт. Варто при цьому розуміти, що змінна - це не вузлове число (тобто не літера, закріплена у математиці за певним цілком визначеним числом для лічби). Змінна може набувати різних значень в залежності від умов задачі.

Запис, який складається з чисел, змінних, знаків дій, дужок, називається виразом зі змінними. При цьому окремо взята змінна є виразом зі змінною. Наприклад, серед записів

виразами із змінними є записи записи та не є виразами зі змінними. Зверніть увагу на вираз Його можна записати також наступним чином: Вертикальна риска означає дію ділення, наприклад, Такий вираз називається дробовим виразом.

Знайти значення виразу - значить підставити замість змінних числа та виконати дії у їх порядку. Значення змінної можна змінювати, наприклад, у виразі змінна може набувати будь-якого значення. Наприклад, для будемо мати наступний вираз: Щоб знайти значення цього числового виразу потрібно виконати дії у необхідному порядку: Відтак, значенням числового виразу є число 15.

Вирази пов'язані із умовами задач та необхідністю "перекладати" з природної мови на мову математики.

Словосполучення (природна мова) Вираз (мова математики)
На більше
На менше
Вдвічі більше
У 12 разів менше
Менше на половину

Величини[ред.]

У прикладному аспекті ми маємо справу із тиском, температурою, густиною, насипною кількістю, місткістю, довжиною, площею, вартістю, швидкістю, яскравістю тощо. Усі ці поняття виражаються числами, які називаються величинами. Іменоване число - число, що записується разом із найменуванням единиці виміру розглядуваної величини. Наприклад, м (двадцять три метри), (два градуси), 6 га (шість гектарів), 24 кв. м. (двадцять чотири квадратних метри), 4 г (чотири грами), 12 ст. л. (дванадцять столових ложок - насипна кількість), 8 л (вісім літрів) тощо.

Вирази зі змінними використовують для запису формул. Наприклад, - формула для обчислення площі, - формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда, - формула задання парних чисел, - формула задання непарних чисел. Формули виражають залежності між змінними, які позначають величини. Наприклад, швидкість виражається через залежність проходжуваного шляху м тілом від часу с, що записують як Це значить, що за секунд тіло переміститься на відстань метрів відносно точки початку його руху.

Задачі[ред.]

Кожна задача складається із умови та запитання. В умові наводяться дані та шукані величини, описане співвідношення між ними. Щоб відповісти на запитання, необхідно ретельно та всестороньо вивчити умову, виявити приховані зв'язки між даними та шуканими величинами. Процес пошуку відповіді на запитання називається розв'язуванням (вирішенням), а сама відповідь - розв'язком.

Множини[ред.]

Множиною називається сукупність предметів або понять, об'єднаних якою-небудь спільною властивістю. Наприклад, говорять про множину літер у абетці, множину осіб, які навчаються у одному класі школи тощо. Предмети, що входять до множини, називаються її елементами. Множини позначають великими літерами, а елементи малими літерами латинської або грецької абеток. Множина записується через перелічення її елементів у фігурних дужках Наприклад, вираз означає множину, яка складається з чисел (елементів) Множини та варто розглядати як однакові, оскільки у другому випадку елемент згаданий двічі при переліченні елементів, що є несуттєвим для визначення самої множини. Таким чином, для повного задання множини достатньо перелічити усі її елементи. Порядок запису елементів також не відіграє суттєвого значення. Наприклад, множина з трьох елементів припускає шість перестановок:

Той факт, що елемент належить до множини записується У протилежному випадку, якщо необхідно, пишуть що означає, що елемент не міститься у

Множина що складається з елемента і сам цей елемент вважаються різними об'єктами. Зокрема, доводиться відрізняти елемент множину яка складається з одного елемента та множину елементом якої є множина тощо.

Разом із множинами, що містять елементи, розглядають пусту множину, яка не містить жодного елемента. Усі пусті множини є рівними і позначаються символом Варто відзначити, що множина містить в якості елемента пусту множину і тому не є пустою.

Якщо кожний елемент множини входить до множини то називається підмножиною a називається надмножиною При цьому пишуть та Зрозуміло, що якщо та то Зрозуміло також, що для будь-яких множин з слідує

Якщо кожний елемент множини міститься у множині але множина містить хоча б один елемент, який не міститься у тобто якщо та то називається власною підмножиною а - власною надмножиною У цьому випадку записують Запис означає, що є підмножиною відмінною від З слідує тощо.

Пуста множина має лише одну частину: множина що складається з одного елемента має дві частини: та множина що складається з двох елементів, має чотири частини: Таким чином, множина, яка складається з певного числа елементів, має частин.

Нехай - декотра властивість, притаманна об'єктам, і нехай формула означає, що об'єкт наділений властивістю Тоді через позначається множина об'єктів, які наділені властивістю Наприклад, нехай дана множина Тоді буде підмножиною елементами якої є числа, більші від 4. Знак порівнювання "" означає "більше" (запис буквально: усі більші від ). Тобто Варто відзначити, що замість перелічення усіх елементів множини може використовуватися змінна, яка представляє усі елементи множини. У нашому випадку представляє усі елементи множини Зазвичай множину задають без перелічення усіх її елементів, користуючись змінною як збірним символом для елементів даної множини. При цьому обов'язково вказують, що елемент належить множині, наприклад, або тощо. Замість вертикальної риски у записі можуть використовуватися дві крапки, тобто

Порядковий номер елемента множини записується знизу праворуч біля знака елемента, Для позначення конкретних значень, які пробігає використовують горизонтальну риску над найменшим та найбільшим елементами множини (зрозуміло, що ). Наприклад, множина з 20 людей вишикувалася у шеренгу по росту. Елемент буде вдповідати найменшій людині у шерензі, а елемент - найбільшій. При цьому пишуть а у дужках вказують значення порядкових номерів, які пробігає В нашому випадку, формально, Таким чином, запис означає множину чисельністю 20 елементів . Чисельність множини також називається її потужністю або кардинальним числом і позначається В нашому прикладі із шеренгою

Інколи для запису множини використовують позначення де вказує значення номера кінцевого елемента,

Відношення на множинах[ред.]

Множина із визначеними на ній відношеннями називається реляційною системою і позначається . Множина відношень складається із підмножин,

Декартовим добутком множин та символічно називається сукупність усіх пар виду де Наприклад, якщо то Далі,

Будь-яке відношення , задане на фіксованій парі довільних множин та є підмножиною множини тобто

Нехай дана множина а - бінарне відношення на множині позначуване Це відношення називається відношенням порядку, якщо справджуються наступні твердження:

  • транзитивність: якщо та то
  • асиметричність: якщо то неможливо

Множина із відношенням порядку називається впорядкованою множиною.

Множина називається лінійно впорядкованою, якщо для будь-якої пари елементів множини виконується одне з двох співвідношень або Лінійно впорядкована множина називається також ланцюгом.

Нехай - лінійно впорядкована множина, а - її підмножина. Елемент називається мінімальним, якщо для будь-якого Наприклад, мінімальним елементом множини є число

Лінійно впорядкована множина називається цілком впорядкованою, якщо будь-яка її підмножина містить мінімальний елемент. Відношення порядку на такій множині називається відношенням повного порядку. Прикладом лінійно впорядкованої множини із відношенням повного (суворого) порядку є множина натуральних чисел, що використовуються при лічбі предметів. Відношення порівняння на множині натуральних чисел, визначає порядок слідування чисел: Символ позначає нескінченість. Множина натуральних чисел є нескінченною, оскільки для даного натурального числа завжди знайдеться число більше від (тобто або ).

Початковим елементом цілком впорядкованої множини називається її мінімальний елемент. Наприклад, початковим елементом множини натуральних чисел є число Відрізком лінійно впорядкованої множини називається така підмножина що для будь-яких її елементів та будь-якого які задовільняють умові маємо Початковим відрізком цілком впорядкованої множини назвивається відрізок, що містить мінімальний елемент цієї множини. Початковим елементом відрізку є його мінімальний елемент.

Нехай на множині задане відношення яке називається відношенням часткового порядку, для якого виконуються наступні аксіоми:

  • для будь-якого (рефлексивність);
  • якщо та то (транзитивність);
  • якщо та то (асиметричність).

Зокрема, відношення "бути підмножиною" на множині усіх підмножин множини є відношенням часткового порядку. Зрозуміло, що - відношення часткового порядку.

Якщо - відношення, визначене на парі множин та то зворотним відношенням (символічно ) називається відношення (визначене на парі множин ), яке складається з тих пар для яких Наприклад, якщо відношення порядку (відношення порівняння або "менше"), то

і тому ("більше"). Символ означає "рівносильно". Зрозуміло, що

Знак дорівнює означає відношення рівності, яке базується на наступних властивостях:

  • (рефлексивність, тобто кожний елемент рівний сам собі);
  • якщо то (симетричність);
  • якщо та то (транзитивність).

Наприклад, відношення рівності є підмножиною декартового добутку множин Воно визначає сукупність усіх "діагональних" пар

Верхня та нижня границі. Нехай - частково впорядкована множина елементів Якщо та то називається мажорантою елементів та У цому випадку пишуть Наприклад, для множини мажорантою буде елемент Зрозуміло, що якщо такий елемент існує, то він лише один. Аналогічним чином визначається міноранта для та вона позначається У нашому прикладі

Елемент називається максимальним, якщо кожний елемент або не порівнюваний із або Іншими словами, елемент називається максимальним, якщо не існує такого що Для підмножини та ми пишемо якщо для кожного виконується умова

Нехай - непуста частково впорядкована множина така, що будь-яка її лінійно (цілком) впорякована підмножина (тобто ланцюг) () має у мажоранту. Тоді містить принаймні один максимальний елемент. Це рівносильно твердженню, що будь-яка непуста множина може бути цілком впорядкована.

Еквівалентність. Бінарне відношення на множині називається відношенням еквівалентності, якщо для будь-яких елементів

  • (рефлексивність);
  • якщо то (симетричність);
  • якщо та то (транзитивність).

Відношення еквівалентності співпадає із відношенням рівності Виділениі властивості (рефлексивність, симетричність, транзитивність) можна представити у наступному вигляді:

  • Рефлексивність:
  • Симетричність:
  • Транзитивність:

Ці три умови є рівносильними наступним:

Припустимо, що існує деяка ознака, за якою пара елементів та множини є еквівалентними. При цьому ми вимагаємо від цієї еквівалентності лише щоб вона була наділена властивостями симетрії, транзитивності й рефлексивності. Скажімо, множину учнів Івано-Франківська ми розподілимо по школам. Два довільно обрані учні з цієї множини будуть "еквівалентними", якщо вони навчаються у одній і тій самій школі (хоча у різних класах). Якщо ми розподілимо учнів по класам, то двоє учнів будуть "еквівалентні", якщо вони навчаються у одному і тому самому класі (хоча у різних школах).

Розбиттям непустої множини називається сукупність непустих попарно непересічних підмножин множин множини таких, що об'єднання усіх множин дорівнює множині в цілому. Підмножини називаються класами розбиття, або суміжними класами (класами еквівалентності). Скажімо, в якості можна розглядати множини учнів, розподілених по школам №1, №2, ..., №n, які є підмножинами множини

З кожним розбиттям пов'яжемо бінарне відношення визначене на вважаючи, що за визначенням є справедливим лише тоді, коли та належать одному і тому ж самому шару множини Зрозуміло, що відношення є відношенням еквівалентності Якщо множину зобразити квадратом, а шари - прямокутниками, на які розбивається квадрат, то відношення справедливе тоді, коли точки та належать одному і тому самому прямокутнику (тобто одній і тій самій підмножині множини ).

нема

Таким чином, кожна еквівалентність на множині відповідає деякому розбиттю множини на підмножини. Підмножини множини називаються суміжними класами. Система усіх суміжних класів по є розбиттям множини Оскільки елементи з лише тоді є еквівалентними, коли вони містяться у одному і тому самому суміжному класі. Таким чином, розбиття на суміжні класи по та задана еквівалентність відповідають одне одному. Сукупність усіх суміжних класів множини по еквівалентності позначається через і називається фактор-множиною від по

Відношення еквівалентності є частковим випадком відношення толерантності (його називають також відношенням схожості або наближеною рівністю), яке має наступні властивості:

  • рефлексивність, ;
  • симетричність,

Відношення толерантності не є транзитивним в загальному випадку. Воно часто використовується для опису схожості між реальними об'єктами, для опису відношень знайомства чи союзу між людьми. Справді, Тарас може бути знайомий із Лесею, а Леся - із Андрієм, однак це не значить, що Тарас знайомий із Андрієм.

Нехай на множині задана толерантність, тобто підмножина Підмножина називається ядром даної толерантності якщо усі її елементи попарно зв'язані між собою. Найпростіші ядра складаються з одного елемента, оскільки через рефлексивність толерантності кожний такий елемент поставлений у відповідність самому собі, Ядро називається максимальним, якщо воно не міститься у жодному іншому ядрі однієї і тієї ж підмножини .

Ядра для толерантності - те саме, що й класи для еквівалентності. Однак, на відміну від класів, вони перетинаються між собою й не утворюють розбиття. Наприклад, якщо відношення еквівалентності розбиває суспільство на окремі непересічні підмножини (на основі відповідного фактора - раси, діаспори тощо), то у випадку відношення схожості (толерантності) відмінності між людьми зовсім не є обов'язковими.

-арні відношення. Декартовим добутком (або прямий добуток) системи множин називається сукупність послідовностей де Будь-яка підмножина множини називається відношенням, визначеним на системі Декартовий добуток де називається -ним степенем множини і позначається Відношення визначене на системі називається -арним відношенням на множині

Для декартового добутку справедливе наступне твердження:

Символ позначає союз "ТА" (тобто " та "). Воно виражає той факт, що декартів добуток множин є пустою множиною лише тоді, коли хоча б одна з цих множин є пустою. Припустимо, що кожна множина не пуста, Чи буде у цьому випадку непустим декартів добуток ? Якщо сукупність порядкових номерів (індексів) - скінченна множина, то позитивна відповідь на це питання не викликає сумнівів. Непустота кожної множини означає, що у цій множині можна "вибрати" хоча б один елемент. Здійснюючи такий вибір для кожного отримаємо сумісний (міжмножинний) вибір, а значить, і елемент декартового добутку. Якщо множина є нескінченною, то потрібно здійснити нескінченне число довільних виборів. Здійснюваність не лише скінченного, але й нескінченного числа виборів є аксіомою теорії множин, що називається аксіомою Цермело (або аксіомою вибору). Вона формулюється наступним чином: декартовий добуток довільної занумерованої (індексованої) системи непустих множин є множиною непустою. Доволі часто множиною індексів є множина натуральних чисел (або її підмножина), тобто

Операції та їх властивості[ред.]

Множина та множина операцій визначених на називається алгеброю, символічно,

Арифметичні дії додавання й добутку натуральних чисел є операціями, здійснюваними над парами чисел, або, як говорять, бінарні операції. Теоретико-множинні операції об'єднання й перетину можуть бути прикладом бінарних операцій, здійснюваних над множинами, тобто над об'єктами ще більш простої природи, ніж натуральні числа. Операція взяття доповнення є операцією, здійснюваною над одним об'єктом. Такі операції називаються унарними.

Нехай маємо множину елементи якої утворюють вершини правильного шестикутника. Уведемо операцію обмежену наступними правилами:

Таким чином, здійснюючи операцію над довільною точкою а потім, здійснюючи її двічі тричі чотири рази та п'ять разів, ми отримаємо усі 6 точок. При цьому говорять, що множина є замкнутою відносно операції у тому сенсі, що, здійснюючи операції над елементами ми в результаті отримуємо елементи з цієї самої множини Розуміло, що - алгебра.

Zamikanie picture.tif
Операції над множинами[ред.]

Об'єднанням (або сумою) множин та символічно називається множина, отримувана об'єднанням елементів та в одну множину. Таким чином, твердження означає, що або Наприклад, Зокрема, для будь-якої множини справедливі рівності та Вирази позначають об'єднання елементів множин

Перетином (або спільною частиною) множин та символічно називається множина, яка містить лише ті елементи, які одночасно належать як множині так і множині Якщо та спільних елементів не мають, то їх перетин пустий, Наприклад,

Зокрема, для будь-якої множини справедливі наступні рівності:

Вирази позначають спільну частину системи множин тобто сукупність елементів, які містяться у кожній з цих множин.

Різницею множин та символічно називається сукупність тих елементів множини які не містяться у Наприклад, З цього можна зробити висновок, що

Іноді операцію об'єднання множин розглядають як аналог операції додавання чисел, а операцію віднімання множин як аналог віднімання чисел. Однак така аналогія не повна. Наприклад, якщо то з цього ще не слідує, що Наприклад, вважаючи отримаємо:

Правильніше вважати, що якщо то

Якщо то різниця називається доповненням множини у множині і позначається Наприклад, якщо основною множиною є множина усіх натуральних чисел, то доповненням сукупності парних чисел є сукупність непарних чисел. Відношення рівності, визначене на множині натуральних чисел, визначає сукупність "діагональних" пар доповненням цього відношення є відношення нерівності тобто

Разом із операцією віднімання множин розглядають також операцію симетричної різниці, що позначається і визначається наступним чином: Іншими словами,

Властивості операцій[ред.]

Для скороченого запису конкретну бінарну операцію позначають спеціальним знаком: додавання позначають знаком множення - знаком операцію перетину двох множин - знаком операцію об'єднання - знаком тощо. Однак коли вивчають загальні властивості бінарних операцій, то говорять не про конкретні, а про довільні операції. Для позначення довільних операцій будемо користуватися символами грецької абетки. Тобто елемент, який бінарна операція ставить у відповідність парі елементів будемо позначати виразом та називати композицією елементів та Самі елементи та називаються членами композиції. Якщо композиція дорівнює елементу то це записується наступним чином: Позначення означає буквально "за визначенням дорівнює". Якщо над елементами множини потрібно виконати одну чи декілька бінарних операцій декілька разів підряд, то порядок їх виконання, точно так само, як це робиться за виконання операцій над числами, можна вказувати за допомогою використання дужок.

Бінарні операції можна розглядати як тернарні відношення. Нехай на множині задана бінарна операція Це значить, що будь-якій впорядкованій парі елементiв поставлений у відповідність цілком визначений елемент Позначмо символом сукупність усіх впорядкованих трійок елементів з таких, що Очевидно, що і тому є реляційною системою із тернарним відношенням між елементами множини

Головними властивостями операцій є їх підпорядкованість (або непідпорядкованість) певним цілком визначеним законам. Серед основних законів виділяють закон комутативності, закон асоціативності й закон дистрибутивності. В українській мові закон комутативності називають також переставним законом, закон асоціативності - сполучним законом, закон дистрибутивності - розподільним законом.

Закон комутативності - закон, якому може задовільняти бінарна операція. У випадку, якщо бінарна операція - множення, то переставний закон має вигляд: Справді, від перестановки множників їх добуток не змінюється: Те саме стосується й доданків відносно суми. Прикладами операцій, що задовільняють переставному законові, можуть бути додавання та множення чисел, перетин та об'єдання множин. Прикладами операцій, що не задовільняють перестаному законові, можуть бути ділення та віднімання чисел (оскільки, в загальному, та ). Декартовий добуток по своїм властивостям відрізняється від множення чисел. Зокрема, для цієї операції не справджується закон комутативності.

Закон асоціативності - закон, якому може задовільняти бінарна операція. Якщо в якості бінарної операції вважати додавання, то сполучний закон має вигляд: Його назва походить від латинського associatio, що у перекладі означає сполучення. Прикладом операції, що задовільняє сполучному законові, окрім додавання, може бути множення: Дійсно, якщо підставити замість натуральні числа, отримаємо: Прикладами операцій, що не задовільняють сполучному законові, є операції віднімання та ділення чисел, оскільки, в загальному,

Закон дистрибутивності - закон, за допомогою якого можуть бути пов'язані дві бінарні операції, визначені на одній і тій самій множині. Назва закону походить від латинського distributus, що в перекладі означає розподілений. Якщо одну операцію вважати множенням, а другу додаванням, то розподільний закон буде мати вигляд: Через те, що операції (добутку та додавання) входять до розподільного закону несиметричним чином, розподільний закон часто називають розподільним законом множення відносно додавання. У випадку некомутативності операції множення, разом із щойно визначеним розподільним законом, який називається лівим розподільним законом, розглядають правий розподільний закон: Операції об'єднання й перетину множин є взаємно дистрибутивними:

Для операцій та також справедливий закон дистрибутивності:

Для декартового добутку вірний дистрибутивний закон:

Закон ідемпотентності - закон, якому може відповідати бінарна операція. Якщо під бінарною операцією розуміти добуток, то закон ідемпотентності має вигляд Прикладами операцій, що задовільняють законові ідемпотентності, можуть бути перетин множин та об'єднання множин. Дійсно, якщо то та Прикладами операцій, що не задовільняють закону ідемпотентності, можуть бути додавання і множення чисел. Наприклад, та

Відображення[ред.]

Відношення визначене на парі множин та називається відображенням до якщо для кожного елемента існує лише один елемент що задовільняє відношенню Елемент називається образом елемента при відображенні а елемент - прообразом елемента При цьому говорять, що кожному елементові відповідає елемент Такий тип відображення називається ін'єкцією (вкладенням до ). Відображення часто позначають літерами тощо.

Відображення зручно задавати таблицею, яка складається з двох рядків. У верхньому рядку у довільній послідовності пишуться позначення елементів множини а під ними записуються познаяення їх образів у множині Наприклад, таблиця визначає відображення множини у себе, за якого

Щоб зрозуміти зміст поняття вкладення, уявіть собі, що множині глядачів у театрі відповідає множина номерів усіх крісел які кожний з них займає.

Нехай - відображення до символічно це записують та - відображення до Іноді замість запису пишуть просто Тоді композиція (або суперпозиція) відображень буде відображенням до тобто де . Суперпозиція відображень, заданих таблицями, здійснюється за способом, який можна зрозуміти з наступного прикладу:

На відміну від вкладення, для накладання (сюр'єкції) множини на множину символічно так само для елемента достатньо мати хоча б один прообраз у множині Таким чином, елементу може відповідати декілька елементів з множини На відміну від вкладення, коли говорять, що множина відображається до множини при накладанні говорять, що множина відображається на множину

Щоб краще зрозуміти зміст поняття накладання, уявіть собі, що кожному номеру у гардеробі театру відповідає множина усіх тих, хто повісили свій верхній одяг на цей номер

Нехай дане відображення множини на множину Повним прообразом довільного елемента за відображення називається множина усіх тих елементів множини яким за цього відображення ставиться у відповідність даний елемент Ця множина позначається і називається повним прообразом.

У випадку, якщо на кожному глядачу театру відповідає лише один номер у гардеробі, тобто коли повний прообраз кожного елемента множини складається лише з одного елемента множини у цьому випадку відображення множини на множину називається взаємно однозначним (або бієктивним). Цей приклад показує, що взаємно однозначне відображення множини на множину автоматично здійснює також взаємно однозначне відображення множини на множину адже якщо кожна множина де - довiльний елемент складається лише з одного елемента то ми й отримуємо відображення множини на множину що ставить у відповідність кожному елементу елемент множини Відображення називається зворотним відображенням до відображення

Для того, щоб відображення, задане таблицею, було взаємно однозначним, необхідно та достатньо, щоб кожний елемент з множини зустрічався у нижньому рядку лише один раз. Роблячи нижній рядок верхнім, а верхній нижнім, отримаємо таблицю зворотного відображення. Наприклад, перша з наступних двох таблиць

визначає взаємно однозначне відображення множини на себе, а інша - ні (оскільки, як говорилося, необхідно та достатньо, щоб кожний елемент зустрічався у нижньому рядку лише один раз). Це диктується вищевказаною вимогою про те, що за накладання для елемента достатньо мати хоча б один прообраз у множині

Нехай - відображення на Перетином відображення називається відображення для якого Щоб краще з'ясувати про ще йде мова, уявімо собі множину - деяким овалом, кожна довільно обрана точка на якому є елементом множини Позначмо множину деякою лінією, кожна точка якої має прообраз у множині Стрілками умовно зображена деяка відповідність елементів елементам множини за відображення Відображення ставить у відповідність елементам елементи що зображено чорною лінією на множині Зрозуміло, що

Mikhail-Verbitsky-example.tif


Розгляньмо перетин на прикладі таблиць. Нехай a Розгляньмо відображення , задане таблицею Зворотним відображенням буде відображення , задане таблицею Зрозуміло, що За аксіомою вибору кожне накладання має перетин.

Розгляньмо відображення множини на множину Визначмо на бінарне відношення вважаючи (), якщо елементи та належать до одного й того ж суміжного класу. Множина складається із класів еквівалентності по відношенню і називається фактормножиною (позначається ). Нехай множина складається з точок; тоді кожній точці з за відображення відповідає суміжний клас з зображений на малюнку квадратом. Суміжні класи по є повними прообразами у множині елементів множини Ставлячи кожному елементу у відповідність його повний прообраз у отримаємо взаємно однозначне відображення (бієкцію) множини на фактормножину На наступному малюнку підмножина складається з точок усіх квадратів (суміжних класів), а множина є сукупністю точок, що знаходяться у правому стовпці.

Factor-set.tif
Функція[ред.]

Елемент множини називається функцією елемента визначеною на множині якщо кожному елементу відповідає єдиний елемент Елемент називається незалежною змінною або аргументом. Множина називається областю визначення, або областю існування функції і позначається Множина яка складається з усіх які відповідають хоча б одному називається множиною значень, або областю зміни функції, і позначається . Таким чином, є функцією від коли встановлена відповідність: кожному відповідає певне Позначається функція або як відображення Функція може задаватися словесно, таблицею тощо, за тієї лише умови, що необхідно задати закон відповідності В цьому сенсі є незалежною величиною (аргументом), а - залежною від . Визначення функції як змінної величини має недоліки, оскільки використовується несуворе поняття змінної величини.

В залежності від природи множин та термін "функція" у різних розділах математики має синоніми: відображення, перетворення, морфізм, оператор, функціонал. Відображення - найбільш розповсюджений серед них.

Дві функції та є співпадаючими (рівними), якщо вони мають одну і ту саму область визначення (символічно ) та на будь-якому елементі значення та цих функцій відповідно співпадають. У такому випадку пишуть Зрозуміло, що для рівності функцій їхні області визначення та значень повинні співпадати, тобто та

Якщо a є декотрою функцією, то через запис позначають функцію яка співпадає із функцією на множині Іншими словами, якщо У такому випадку функція називається обмеженням (звуженням) функції на множину а функція по відношенню до функції називається розповсюдженням (або продовженням) функції на множину Варто зауважити, що іноді доводиться розглядати функцію визначену на підмножині декотрої множини причому область значень функції може виявитися не співпадаючою із підмножиною множини як за відображення

Нехай - множина відображень множини у множину a - фіксований елемент з множини Поставимо будь-якій функції у відповідність її значення на елементі Цим визначається функція Зокрема, якщо є множиною натуральних чисел, то кожній функції функція ставить у відповідність число Таким чином, функція є функцією, визначеною на функціях. Такі функції називають функціоналами.

Розгляньмо множину усіх функцій, визначених на усій числовій осі Зафіксуймо число кожній функції поставимо у відповідність функцію пов'язану із нею співвідношенням Функція називається зсувом на функції Відображення називається оператором зсуву. Таким чином, оператор визначений на функціях, його значеннями є також функції, тобто

Часткове відображення[ред.]

Частковим відображенням з сукупності до сукупності називається частковою функцією з до Елемент який відповідає елементу де за відображення називається значенням функції у точці та позначається Для та застосовуються позначення та

Відміність між функцією та частковою функцією полягає у наступному. Якщо - функція з до то для кожних та однозначно визначене значення цієї функції у точці

Якщо ж є частковою функцією з до то для декотрих та значення може не існувати. У цьому випадку кажуть, що значення не визначене або що вираз має невизначене значення. Наприклад, сума та добуток натуральних чисел є бінарними операціями на Дія ж віднімання в області натуральних чисел не завжди можлива. Наприклад, вираз де ( менше за значенням від ), не справджується, оскільки значення цього виразу не належить множині Тому операцію віднімання на множині натуральних чисел варто розглядати як часткову, тобто таку, яка є справедливою у випадку ( більше від ), оскільки значення виразу за умови будуть належати множині

Часткова функція з до називається частковою -арною функцією на із значеннями у Сукупність тих точок, у яких задана часткова функція має значення, називається областю визначеності

Графік[ред.]

Графіком називається множина будь-який елемент якої є впорядкована пара У добутку називають "віссю абсцис", а - віссю ординат. Пару де та називають точкою, а та - "абсцисою" та "ординатою" точки відповідно. Таким чином, геометричною інтепретацією декартового добутку множин є поняття графіка.

Над відношеннями можна здійснювати операції, в результаті чого утворються нові відношення. Операції над відношеннями можна визначити чрезвідповідні їм операції над графіками цих відношен. Наприклад, оберненим графіком до графіка який складається з усіх пар є графік який складається з усіх пар тобто При цьому вісь абсцис та вісь ординат змінюються місцями. Повторне застосування операції обернення (інверсії) приводить до графіка тобто

Таким чином, кожна частина декартового добутку двох множин є графіком. Можна розглядати також декартовий доубток трьох, чотирьох тощо множин, вважаючи або тощо. При цьому вирази чи записуються просто , тому Для декартового добутку множин справджується асоціативний закон.

Для добутку між собою рівночисельних множин використовують поняття степені й записують:

Цим пояснюється походження позначень для площини, трьохвимірного, чотирьохвимірного, ..., -вимірного дійсного простору. Поняття простору буде розглянуте згодом.

Суперпозицією (композицією) графіків є операція, яка довільним двом графікам та заданим у вказаному порядку, ставить у відповідність графік за наступним правилом: якщо а то

Нехай та Розгляньмо композицію

  • якщо тa то
  • якщо та то
  • якщо та то

Розгляньмо також композицію

  • якщо та то
  • якщо та то
  • якщо та то
Координати[ред.]

Координати - числа, взяті в певному порядку й характеризуючі положення точки на лінії, на площині, на поверхні тощо. В залежності від об'єкта дослідження обирають різні системи координат, за допомогою яких кожному елементу множини ставлять у відповідність елемент множини за відображення Наприклад, у площині розглядають дві самонепересічні лінії (якi не мiстять особливих точок, у яких ці лінії могли б перетинали самi себе) та . Точка перетину ліній позначається На наступному малюнку позначена точка перетину ліній та

Coordinateesss.tif

Об'єкти, фізичні величини існують та взаємодіють незалежно від спостерігача. Реальний об'єкт існує у просторі незалежно від заданих спостерігачем суб'єктивних координат, у яких об'єкт квантифікований (виміряний), і взагалі незалежно від квантифікації з боку спостерігача. Системи координат уводяться з метою дати можливість спостерігачу квантифіковувати об'єкти. Тим самим уводиться суб'єктивізм спостерігача, який уявляє об'єкт як сукупність компонент, виміряних у заданій системі координат. Зрозуміло, за перенесення об'єкта з одієї системи координат до іншої (або за переходу до точки зору іншого спостерігача), необхідно бути впевненими, що спостережуваний об'єкт залишиться тим самим, тобто що він є інваріантним по відношенню до зміни системи координат. Для виміру довжини (протяжності) здійснюється вибір напрямку (лінії) вимірювання та вибір двох точок, відстань між якими дорівнює одиниці вимірювання (дюйм, сантиметр, дециметр тощо). Процедура вимірювання здійснюється шляхом накладання вимірюваної довжини (яка визначається двома точками - її початку та кінця) на лінію, квантифіковану (виміряну) еталоном-масштабом (сантиметром, міліметром, дециметром тощо) та здійснення лічби, яка полягає у визначені того, на скільки вимірюваний відрізок відрізняється від еталона вимірювання. Таким чином, виміряти яку-небудь величину - значить знайти відношення даної величини до відповідної одиниці виміру. Поняття більше чи менше застосовуються лише до однорідних величин, тому й порівнювати можна лише однорідні величини. Іншими словами, операції порівняння застосовуються між елементами однієї множини, оскільки множина - сукупність об'єктів, відокремлених від усіх інших об'єктів у цю множину на основі деякої їх спільної властивості, завдяки якій ці об'єкти можуть мислитися у певному порядку. У фізиці можна порівнювати висоту споруди із відстанню між містами, силу натягу пружини із вагою (тобто силою тяжіння) гирі, однак безглуздо ставити питання про те, чи перевищує довжина олівця швидкість поїзда, або об'єм стакана - вагу стола.

Ґратка[ред.]

Ґратка (інакше називається структурою) - система у якій кожна підмножина множини , що складається з двох елементів цієї підмножини, має як точну верхню так й точну нижню грані. Звідси слідує існування цих граней для будь-яких непустих скінченних підмножин. Елементи називаються утворюючими ґратку.

Ґратка може бути визначена також як універсальна алгебра із двома бінарними операціями та які повинні задовільняти наступним рівностям для :

Зв'язок між цими двома визначеннями встановлюється за допомогою формул:

При цьому потрібно мати на увазі рівносильність наступних тверджень:

Прикладом ґратки є множина усіх підмножин впорядкованих за включенням:

Підґраткою гратки називається підмножина така, що якщо та то та де та - операції ґратки

Приклад 1. Розгляньмо телеологічну (від грец. τέλειος, «заключний, довершений» + логія) систему, що складається із множини та операцій та визначених на цій множині. Діяльність може розглядатися на декількох рівнях: на операційному (нижньому), на тактичному, стратегічному й на найвищому рівні - цілепокладання (прагматичний аспект діяльності, тобто навіщо вона здійснюється, з якою метою). Основну задачу (ціль) зручно розбивати на підзадачі (підцілі). Самі підзадачі, у свою чергу, можуть розбиватися ще на підзадачі аж до початкових підзадач, що не містять жодних інших підзадач. Зрозуміло, що основна задача (кінцева ціль) не міститься в якості підзадачі у жодній іншій задачі. Початкові задачі (цілі) (тобто елементи ) є утворюючими систему цілепокладання . Об'єднання будь-яких початкових задач, наприклад, та запишемо означає найближчий найбільший елемент для обох - множину Перетин будь-яких початкових задач, наприклад та є найближчим найменшим елементом для них - у нашому випадку їх перетин На наступній діаграмі зображена частина ґратки, оскільки деякі початкові та проміжні цілі можуть бути не пов'язані між собою. У записі об'єднання вираз означає, що елемент входить до об'єднання елементів двічі.

Teleological-system.tif

Як говорилося, деякі частини не були записані, тобто на малюнку зображена лише частина ґратки (тобто підґратка). Згадаймо, що пуста множина має лише одну частину: множина що складається з одного елемента має дві частини: та множина що складається з двох елементів, має чотири частини: множина , що складається з трьох елементів, має 8 частин: Таким чином, множина, яка складається з певного числа елементів, має частин. На наведеній діаграмі зображені лише деякі частини (якими може бути вичерпана дана телеологічна система).

Приклад 2. Книга представляє собою ієрархічну структуру: розділи діляться на підрозділи, а підрозділи, у свою чергу, ще на підрозділи тощо. Іншими словами, підрозділи містяться у підрозділах, які, у свою чергу, містяться у деяких інших підрозділах і так аж до деякого розділу. Таким чином:

  • Розділ 1
    • Підрозділ 1.1
      • Підрозділ 1.1.1
      • Підрозділ 1.1.2
        • Підрозділ 1.1.2.1
        • Підрозділ 1.1.2.2
        • Підрозділ 1.1.2.3
  • Розділ 2
    • Підрозділ 2.1
    • Підрозділ 2.2
      • Підрозділ 2.2.1
      • Підрозділ 2.2.2 тощо.

Подібно і сама математика представляє собою певну структуру. Розгляньмо, як змінювалася її структура на протязі останніх тисяч років. Структура математичного знання античної Греції представлялася дихотомічною класифікацією. Прокл Діадок писав, що піфагорейці ділили математику на дві частини: числа (1) та простір (2), і кожна частина, у свою чергу, складалася з двох частин: арифметики (1.1), музики (1.2), геометрії (2.1) та сферики (2.2). Сферика містить астрономію (2.2.1) та небесну механіку (2.2.2).

Pifagor-structure.png

У 1566 році у Петра Рамуса з'явилися два дихотомічних уявлення структури математики. За Рамусом математика ділиться на арифметику (1.1), геометрію (1.2), астрономію (2.1) та музику (2.2). З них лише арифметика (1.1) та геометрія (1.2) утворюють чисту математику (1). Вперше дається визначення арифметики, геометрії й алгебри. Визначення арифметики. 1. Арифметика є навчанням про правильну лічбу. 2. У арифметиці є дві частини: проста (1.1.1) й порівняльна (1.1.2). 3. Проста "розглядає природу простого числа", а порівняльна "здійснює порівняння чисел за кількістю та якістю". Визначення алгебри. 1. Алгебра є частиною арифметики, де з чисел, що відповідають значенням фігур, власна лічба. 2. У алгебрі (1.1.3) дві частини: лічба (1.1.3.1) й рівняння (1.1.3.2). Геометрія визначається як вчення про правильні виміри.

Ramus-math.tif

У 1751 Ж.Даламбер разом з Д. Дідро приступив до видання «Енциклопедії наук, мистецтв і ремесел», у якій вони поділили математику на чисту (1) й змішану (2). Чиста математика складається із арифметики (1.1) та геометрії (1.2). Геометрія, у свою чергу, складається з елементарної (1.2.1) й трансцендентної (1.2.2) (теорія кривих). Арифметика ділиться на чисельну (1.1.1) й алгебру (1.1.2). Алгебра ділиться на елементарну (1.1.2.1) й алгебру нескінченно малої (1.1.2.2), яка складається з двох частин - диференціальної (1.1.2.2.1) й інтегральної (1.1.2.2.2) лічби. Змішана ж математика (2) ділитсься: оптику (2.1) (власне оптику (2.1.1), діоптрику із перспективою (2.1.2), катроптику (2.1.3), акустику (2.1.4), пневмоніку (2.1.5), мистецтво вгадувати (2.1.6)); геометричну астрономію (хронологію) (2.2.1), гномоніку (2.2.2), космографію (2.2.3) (географію (2.2.3.1), гідрографію (2.2.3.2), уранографію (2.2.3.3)); механіку (2.3) (статику (2.3.1) (власне статику (2.3.1.1), гідростатику (2.3.1.2)), динаміку (2.3.2) (власне динаміку (2.3.2.1), балістику (2.3.2.2), гідродинаміку (2.3.2.3) (гідравліку (2.3.2.3.1), навігацію (2.3.2.3.2)))).

У процесі становлення математики виникали нові розділи, декотрі ж розділи зливалися (наприклад, математичний аналіз об'єднав метод флюксій Н'ютона й метод диференціалів Лейбніца), а деякі розділи вилучалися (навігація, гідравліка, картографія, біометрика тощо). З початку нового часу структура математики почала суттєво ускладнюватися: класифікація "Енциклопедії" Дідро й Даламбера (XVIII ст.) має п'ятирівневу схему із числом кожного рівня (2, 5, 15, 10, 4); універсальна десяткова класифікація (УДК), що застосовувалася у бібліотеках СРСР для систематизації публікацій по математиці (30-ті роки ХХ ст.), видана у 1962 році, має трьохрівневу схему із числом розділів кожного рівня (25, 128, 468); схема систематичного вказівника, що вийшла у 1979 році, відображає структуру математики 50-х років ХХ ст., має трьохрівневу схему із числом розділів кожного рівня (19, 107, 1600); більш сучасна класифікація (MSC), опублікована у 1979 році, використовується з 1980-х років, має трьохрівневу схему із числом розділів кожного рівня 60 (основних областей), 467 (розділів), 2950 (тем).

Концепція рівневої будови математики середини ХХ ст. представлена у статті Н.Бурбакі "Архітектура математики". Математичне знання порівнюється із містом, де головні дороги (породжуючі) структури - алгебричні, порядкові й топологічні - утворюють "центр міста". На периферії виникають нові області математики, гарні теорії, подібно будівництву нових кварталів й споруд. Математику також порівнюють до великого дерева, кожна гілка якого представляє певну область математики із своїми розділами. Відлік становлення сучасної математики бере свій початок з виникнення Геттінгенської школа Клейна-Гільберта (1896-1933 роки). У цей час математика набуває нової якості: тепер найуніверсальніші математичні розуми виявляються спеціалістами лише у декотрих розділах математики, розроблювані математиками теми стають різноманітними.

Приклад 3. За оцінками деяких експертів кардинальне число множини усіх органічніх сполук може сягати значення близько Система номенклатури IUPAC базується на центральній її концепції "родопочаткової структури". Структурною одиницею тезаурусу є дескрипторна стаття. Вона складається з називного дискриптора та інших лексичних одиниць, що пов'язані відношенням синонімії, часткового порядку. До називного дискриптора входить бруто-формула зв'язків, яка відповідає структурному фрагментові даного класу органічних сполук. Представлення органічної хемії можна здійснити у вигляді дерева із кореневим дескриптором "Органічні сполуки". Дескриптори, що знаходяться на першому ступені підпорядкування, розташовані у абетковому порядку і зсунуті праворуч на одну позицію відносно називного дескриптора.

  • Органічні сполуки
    • Ациклічні сполуки
    • Циклічні сполуки
      • Ароматичні сполуки
        • Бензоїдні ароматичні сполуки

тощо.

Математична логіка[ред.]

Пропозиції (висловлювання)[ред.]

Навіть при поверхневому розгляді тверджень видно, що про них є сенс говорити, що вони істинні чи хибні. Наприклад, висловлювання "серед натуральних чисел немає найбiльшого" ми сприймаємо як істинне; висловлювання "число 1 є простим числом" ми сприймаємо як хибне тощо. Таким чином, при разглядi математичних тверджень й роздумів можна повністю обмежитися лише такими пропозиціями, про які можна сказати, що вони істинні чи хибні. Слова "пропозиція" та "висловлювання" будемо вважати синонімами. З цієї точки зору математичну теорему або аксіому можна розглядати як пропозицію, а доказ теореми - як послідовність пропозицій, пов'язаних між собою певним чином. Однак тут необхідно зробити зауваження. По-перше, у математичних текстах зустрічаються твердженя, що не є пропозиціями у вказаному сенсі. Наприклад, відносно пропозицій "позначмо прості числа " та "розгляньмо числа " немає сенсу говорити, що вони істинні або хибні. По-друге, пропозиції як речення, що є істинними чи хибними, зустрічаються не лише у математиці. Наприклад, висловлювання "маса Землі надзвичайно велика" може бути як істинним, так й хибним, в залежності від деякої іншої маси, з якою порівнюють масу Землі. Пропозиція "людина - це тварина" є істинною у біологічному сенсі, однак може бути хибною, якщо її використовують при розгляді соціальних та етичних питань. Необхідно особливо зауважити, що ми зосереджуємося на формі пропозиції безвідносно до її змісту - ми не з'ясовуємо істинність чи хибність тверджень, які входять до даної пропозиції, нас цікавить лише зв'язок цих тверджень, за якого дана складна пропозиція може бути істинною чи хибною. Розгляньмо ряд тверджень:

  • "Тарас має прізвище Фоменко",
  • "Богдан і Тарас - брати",
  • "Богдан має прізвище Фоменко".

Цей логічний роздум є безвідносним щодо з'ясування чи істинним є твердження "Тарас має прізвище Фоменко" саме по собі, чи хибним. Аксіоми (грец. axiōma; кор. axio (достойність), укр. гідність, гідне) відіграють подібну роль первинних тверджень, які приймаються в якості ядерних (тобто елементарних) - таких, які не піддаються сумніву. Сумніву ж можуть піддаюватися твердження, зроблені безвідносно до аксіом чи їх множин (систем аксіом). У математиці усі твердження робляться з огляду на прийняті системи аксіом. Відокремлюючи форму від змісту, ми констатуємо їх незалежність одна від одної. Таке абстрагування породжує універсальність форм, коли одна форма може виражати множину змістів. Тобто ми можемо "підігнати" той чи інший зміст під відповідну форму міркування. І, скажімо, можемо стверджувати:

  • "Матерія має фізичні властивості",
  • "Об'єкти Всесвіту складаються з матерії",
  • "Усі об'єкти Всесвіту мають фізичні властивості".

За формою це міркування та міркування стосовно приналежності Богдана до сімейства Фоменків є однаковими. Форма такого міркування називається силогізмом, який складається з двох тверджень й висновку на їх основі. Нас не цікавить, що поняття фізичності належить до так званої рефлексивної реальності (тобто до сфери переконань - до того, як людина в силу її обмежень розуміє об'єкти й відрізняє, класифікує їх), і що з точки зору субстанціалізму це може бути хибним (неповним) міркуванням. Скажімо, у алгебричній геометрії Всесвіт (як деякий простір, вмістилище) і матерію можна розглядати як одне ціле (-простір).

Для позначення висловлювань будемо використовувати великі латинські літери: Єдиною суттєвою для нас характеристикою пропозиції є її істинність або хибність. Цю характеристику назвемо значенням істинності даного висловлювання. Будемо вважати, що значення істинності висловлювання дорівнює якщо висловлювання істинне, та дорівнює якщо воно хибне. Значення істинності довільного висловлювання будемо позначати Таким чином, якщо - висловлювання "", а - висловлювання "", то

Визначити декотру логічну операцію над сукупністю висловлювань - значить вказати значення істинності висловлювання, яке є результатом даної операції, за усіх можливих значень істинності початкових висловлювань Задавати ці значення зручно за допомогою таблиці, яку називають таблицею істинності розглядуваної операції. У розмовній та літературній мові слова і вирази "та", "або", "якщо..., то..." розуміються по-різному, тоді як логічні операції повинні бути визначені так, щоб усі їх розуміли однаково.


Заперечення - логічна операція, яка будь-якому висловлюванню ставить у відповідність висловлювання значення істинності якого визначеється значенням істинності висловлювання за наступним правилом:

1 0
0 1

Таке висловлювання позначається (читається "не ") і називається запереченням висловлювання Таким чином, висловлювання істинне лише тоді, коли висловлювання є хибним.


Кон'юнкція - це логічна операція, яка будь-яким двом висловлюванням ставить у відповідність складене висловлювання значення істинності якого визначеється значеннями істинності висловлювань та за наступним правилом: