Перейти до вмісту

Основні числові системи/Ірраціональні числа

Матеріал з Вікіпідручника
Логотип Вікіпедії
Логотип Вікіпедії
Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Ірраціональні числа

Найновіші відкриття встановили, що ще давні вавилоняни знали про існування ірраціональностей. А у "Началах" Евкліда подається доказ їх існування. Цей доказ виходить з такої основної властивості сумірних й несумірних величин: сумірні величини відносяться між собою, як декотрі (раціональні) числа, а несумірні величини не можуть відноситися між собою як числа. Справді, коли величини та сумірні, то вони мають спільну міру. Нехай ця міра міститься у першій величині три рази, а у другій п'ять, тоді

Якщо б несумірні величини відносилися як числа, то це означало б, що вони мають спільну мір. Евклід у дев'ятій теоремі книги встановлює таку умову несумірних відрізків: "Квадрати, які відносяться між собою, як квадратні числа, мають сторони по довжині сумірні, а квадрати, які не відносяться між собою, як декотрі числа, мають сторони за довжиною несумірні".

Припустімо, що діагональ та сторона квадрата є сумірними, тобто де та є взаємно простими числами. Тоді але тоді тобто число є парним. Нехай тоді або тобто та числа парні, що суперечить умові про те, що числа та є взаємно простими. Звідси висновок: відрізки та є несумірними.

Арифметичний корінь[ред.]

Арифметичний корінь - невід'ємне значення кореня парного або непарного степеня з невід'ємного числа. Наприклад, коренем з числа формально називається таке число , квадрат якого дорівнює тобто Наприклад, для числа 25 квадратними коренями є числа та бо та Таким чином, для будь-якого додатного числа існує два корені (які є протилежними числами); вважають, що для від'ємних чисел квадратних коренів немає.

Дія вилучення квадратного кореня може розумітися як дія, зворотна до піднесення до степеня (розуміючи під дією вилучення квадратного кореня не збільшення показника степеня, а його зменшення, необхідно визнати, що позначення цієї дії показником достатньо ясно виражає поняття "вилучення квадратного кореня"). Знак уведенй К.Рудольфом, є аналогічним до позначення С.Cтевіна

При цьому справедливими є наступні рівності:

  • якщо та ;
  • ;

Властивості квадратного кореня:

  • якщо та ;

Корінь степені де з числа є число, яке у степені дорівнює При цьому корінь другого степеня називають квадратним коренем, а корінь третього степеня - кубічним коренем. Зокрема, коренем четвертого степеня з числа є числа та оскільки та Кубічний корінь з числа дорівнює оскільки Таким чином, у випадку, якщо є непарним натуральним числом, то існує лише один корінь степеня з довільного числа

Арифметичним коренем степені з невід'ємного числа є невід'ємне число, яке у степені дорівнює Арифметичний корінь степені позначають У виппадку, якщо - непарне число, то запис використовується й для від'ємних значень (такий корінь не є арифметичним).

Для арифметичного кореня справджуються наступні рівності:

  • якщо та ;
  • ;

Властивості арифметичного кореня:

  • якщо та
  • якщо та ;
  • якщо ;
  • якщо а та є натуральними числами та ;
  • якщо a та є натуральними числами.

Раціональні числа · Дійсні числа