Основні числові системи/Ірраціональні числа

Найновіші відкриття встановили, що ще давні вавилоняни знали про існування ірраціональностей. А у "Началах" Евкліда подається доказ їх існування. Цей доказ виходить з такої основної властивості сумірних й несумірних величин: сумірні величини відносяться між собою, як декотрі (раціональні) числа, а несумірні величини не можуть відноситися між собою як числа. Справді, коли величини $a$ та $b$ сумірні, то вони мають спільну міру. Нехай ця міра міститься у першій величині три рази, а у другій п'ять, тоді ${\frac {a}{b}}=3:5.$

Якщо б несумірні величини відносилися як числа, то це означало б, що вони мають спільну мір. Евклід у дев'ятій теоремі книги встановлює таку умову несумірних відрізків: "Квадрати, які відносяться між собою, як квадратні числа, мають сторони по довжині сумірні, а квадрати, які не відносяться між собою, як декотрі числа, мають сторони за довжиною несумірні".

Припустімо, що діагональ $d$ та сторона $a$ квадрата є сумірними, тобто ${\frac {d}{a}}={\frac {p}{q}},$ де $p$ та $q$ є взаємно простими числами. Тоді ${\frac {d^{2}}{a^{2}}}={\frac {p^{2}}{q^{2}}},$ але $d^{2}=2a^{2},$ тоді ${\frac {2a^{2}}{a^{2}}}={\frac {p^{2}}{q^{2}}},$ тобто число $p$ є парним. Нехай $p=2k,$ тоді $p^{2}=4k^{2},$ або $2q^{2}=4k^{2},\,\,q^{2}=2k^{2},$ тобто $q^{2}$ та $p$ числа парні, що суперечить умові про те, що числа $p$ та $q$ є взаємно простими. Звідси висновок: відрізки $d$ та $a$ є несумірними.

Арифметичний корінь[ред.]

Арифметичний корінь - невід'ємне значення кореня парного або непарного степеня з невід'ємного числа. Наприклад, коренем з числа $a,$ формально ${\sqrt {a}},$ називається таке число $b$ , квадрат якого дорівнює $a,$ тобто $b^{2}=a.$ Наприклад, для числа 25 квадратними коренями є числа $5$ та $-5,$ бо $5^{2}=25$ та $(-5)^{2}=25.$ Таким чином, для будь-якого додатного числа існує два корені (які є протилежними числами); вважають, що ${\sqrt {0}}=0;$ для від'ємних чисел квадратних коренів немає.

Дія вилучення квадратного кореня може розумітися як дія, зворотна до піднесення до степеня (розуміючи під дією вилучення квадратного кореня не збільшення показника степеня, а його зменшення, необхідно визнати, що позначення цієї дії показником ${\frac {1}{n}}$ достатньо ясно виражає поняття "вилучення квадратного кореня"). Знак $[{\sqrt[{n}]{}}],$ уведенй К.Рудольфом, є аналогічним до позначення С.Cтевіна $({\frac {1}{n}}).$

При цьому справедливими є наступні рівності:

${\sqrt {x}}=y,$ якщо $y^{2}=x$ та $y\geq 0$ ;
$({\sqrt {x}})^{2}=x$ ;
${\sqrt {x^{2}}}=|x|.$

Властивості квадратного кореня:

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {y}},$ якщо $x\geq 0$ та $y\geq 0$ ;
${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}};$
${\sqrt {x^{2n}}}=|x^{n}|.$

Корінь степені $n,$ де $n\in \mathbb {N} ,$ з числа $x$ є число, яке у степені $n$ дорівнює $x.$ При цьому корінь другого степеня називають квадратним коренем, а корінь третього степеня - кубічним коренем. Зокрема, коренем четвертого степеня з числа $16$ є числа $-2$ та $2,$ оскільки $(-2)^{4}=16$ та $2^{4}=16.$ Кубічний корінь з числа $-27$ дорівнює $-3,$ оскільки $(-3)^{3}=-27.$ Таким чином, у випадку, якщо $n$ є непарним натуральним числом, то існує лише один корінь степеня $n$ з довільного числа $x.$

Арифметичним коренем степені $n$ з невід'ємного числа $x$ є невід'ємне число, яке у степені $n$ дорівнює $x.$ Арифметичний корінь степені $n$ позначають ${\sqrt[{n}]{x}}.$ У виппадку, якщо $n$ - непарне число, то запис ${\sqrt[{n}]{x}}$ використовується й для від'ємних значень $x$ (такий корінь не є арифметичним).

Для арифметичного кореня справджуються наступні рівності:

${\sqrt[{n}]{x}}=y,$ якщо $y^{n}=x$ та $y\geq 0$ ;
$({\sqrt[{n}]{x}})^{n}=x$ ;
${\sqrt[{n}]{x}}^{n}=|x|.$

Властивості арифметичного кореня:

${\sqrt[{n}]{xy}}={\sqrt[{n}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{y}},$ якщо $x\geq 0$ та $y\geq 0$
${\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}},$ якщо $x\geq 0$ та $y>0$ ;
${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=({\sqrt[{n}]{x}})^{m},$ якщо $x>0$ ;
${\sqrt[{m\cdot n}]{x^{m}}}={\sqrt[{n}]{x}},$ якщо $x\geq 0,$ а $m$ та $n$ є натуральними числами $n>1$ та $m>1$ ;
${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{x}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{x}},$ якщо $x\geq 0,$ a $m>1$ та $n>1$ є натуральними числами.

← Раціональні числа · Дійсні числа →