Найновіші відкриття встановили, що ще давні вавилоняни знали про існування ірраціональностей. А у "Началах" Евкліда подається доказ їх існування. Цей доказ виходить з такої основної властивості сумірних й несумірних величин: сумірні величини відносяться між собою, як декотрі (раціональні) числа, а несумірні величини не можуть відноситися між собою як числа. Справді, коли величини
та
сумірні, то вони мають спільну міру. Нехай ця міра міститься у першій величині три рази, а у другій п'ять, тоді
Якщо б несумірні величини відносилися як числа, то це означало б, що вони мають спільну мір. Евклід у дев'ятій теоремі книги встановлює таку умову несумірних відрізків: "Квадрати, які відносяться між собою, як квадратні числа, мають сторони по довжині сумірні, а квадрати, які не відносяться між собою, як декотрі числа, мають сторони за довжиною несумірні".
Припустімо, що діагональ
та сторона
квадрата є сумірними, тобто
де
та
є взаємно простими числами. Тоді
але
тоді
тобто число
є парним. Нехай
тоді
або
тобто
та
числа парні, що суперечить умові про те, що числа
та
є взаємно простими. Звідси висновок: відрізки
та
є несумірними.
Арифметичний корінь
[ред.]
Арифметичний корінь - невід'ємне значення кореня парного або непарного степеня з невід'ємного числа. Наприклад, коренем з числа
формально
називається таке число
, квадрат якого дорівнює
тобто
Наприклад, для числа 25 квадратними коренями є числа
та
бо
та
Таким чином, для будь-якого додатного числа існує два корені (які є протилежними числами); вважають, що
для від'ємних чисел квадратних коренів немає.
Дія вилучення квадратного кореня може розумітися як дія, зворотна до піднесення до степеня (розуміючи під дією вилучення квадратного кореня не збільшення показника степеня, а його зменшення, необхідно визнати, що позначення цієї дії показником
достатньо ясно виражає поняття "вилучення квадратного кореня"). Знак
уведенй К.Рудольфом, є аналогічним до позначення С.Cтевіна
При цьому справедливими є наступні рівності:
якщо
та
;
;
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56384a43b0ad615d17273a3b7ad2115e159c2cbb)
Властивості квадратного кореня:
якщо
та
;
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5c5f6be0109e83bf5350c70bbd1296a761c45a)
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2n}}}=|x^{n}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c338ab1d180553c57b921978cfc4eb528f6a6b6e)
Корінь степені
де
з числа
є число, яке у степені
дорівнює
При цьому корінь другого степеня називають квадратним коренем, а корінь третього степеня - кубічним коренем. Зокрема, коренем четвертого степеня з числа
є числа
та
оскільки
та
Кубічний корінь з числа
дорівнює
оскільки
Таким чином, у випадку, якщо
є непарним натуральним числом, то існує лише один корінь степеня
з довільного числа
Арифметичним коренем степені
з невід'ємного числа
є невід'ємне число, яке у степені
дорівнює
Арифметичний корінь степені
позначають
У виппадку, якщо
- непарне число, то запис
використовується й для від'ємних значень
(такий корінь не є арифметичним).
Для арифметичного кореня справджуються наступні рівності:
якщо
та
;
;
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n}=|x|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d14d928355919b288c73faf9a11087b6cf9bc6)
Властивості арифметичного кореня:
якщо
та ![{\displaystyle y\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130e8795bc869a5b823133c5a0972693605c00bd)
якщо
та
;
якщо
;
якщо
а
та
є натуральними числами
та
;
якщо
a
та
є натуральними числами.
← Раціональні числа · Дійсні числа →