Основні числові системи

Алгебричною системою називається система $\langle A,\Omega _{P},\Omega _{F}\rangle ,$ що складається з трьох множин: непустої множини $A,$ множини операцій $\Omega _{F}=\{F_{1},...,F_{k},...\},$ визначених на $A,$ і множини відношень $\Omega _{P}=\{P_{1},...,P_{m},...\},$ заданих на множині $A.$ Множина $A$ називається носієм або основною множиною алгебричної системи $\langle A,\Omega _{P},\Omega _{F}\rangle ,$ а її елементи - елементами цієї системи. Чисельність (кардинальне число) $\mathrm {card} (A)$ називається порядком (потужністю) системи і позначається також $|A|.$ При цьому алгебрична система називається скінченною, якщо множина $A$ є скінченною. Об'єднуючи множини $\Omega _{F}$ та $\Omega _{P}$ системи й вважаючи $\Omega =\Omega _{F}\cup \Omega _{P},$ можна записати систему більш коротко: $\langle A,\Omega \rangle .$

Найважливішими алгебричними системами є так звані числові системи, тобто системи, елементами яких є числа. Їх дослідженням займаються у розділі математики, що називається теорією чисел (або арифметикою). Основні числові системи математики наступні: система натуральних чисел, яку позначають символом $\mathbb {N} ;$ кільце цілих чисел, яке позначають символом $\mathbb {Z} ;$ поле раціональних чисел $\mathbb {Q} ;$ поле дійсних чисел $\mathbb {R} ;$ поле комплексних чисел $\mathbb {C} .$ Виходячи з поняття множини можна побудувати теорію натуральних чисел, потім теорію цілих чисел, раціональних, дійсних і теорію комплексних чисел. Причому кожну з цих теорій можна побудувати як конструктивно, так й аксіоматично. За конструктивної побудови цих теорій нова числова система визначається через попередню, яка вважається вихідною, тобто "будівельним матеріалом" для конструювання нових чисел є числа, які вважаються вже відомими: поняття натурального числа визначається через поняття множини, цілі числа визначаються через натуральні, раціональні - через цілі тощо. За аксіоматичної побудови основні властивості числової системи (системи натуральних чисел, цілих чисел, раціональних чисел тощо) задається системою аксіом.

Зміст