Основні числові системи/Комплексні числа

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Логотип Вікіпедії
Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Комплексне число

Дійсні числа відіграють велику роль у математиці, однак є задачі, для вирішення яких дійсних чисел недостатньо. Однією з таких задач є задача пошуку рішення квадратного рівняння У системі дійсних чисел не віднайдеться таке за якого справджувалася б дана рівність, оскільки у системі дійсних чисел немає дійсного числа, квадрат якого дорівнював б Тривалий час комплексні числа уводилися у розгляд за допомогою наступного міркування: рівняння " не має коренів, не існує. У 1833 році ірландський математик У.Р.Гамільтон пояснив що таке комплексні числа. Його підхід полягав у розширенні системи до системи за допомогою впорядкованих пар дійсних чисел , де які називаються комплексними числами.

Нехай - множина усеможливих впорядкованих пар дійсних чисел та Числа та у парі називаються компонентами пари зокрема, - першою компонентою, а - другою компонентою.

У відповідності із загальним визначенням рівності впорядкованих пар, пари та є рівними лише у випадку, коли та У цьому випадку пишуть

Визначмо на множині таких пар операції додавання й множення. Сумою пар та є пара тобто Тобуток пар та - пара тобто

Операції додавання й множення пар комутативні, асоціативні й пов'язані законом дистрибутивності. Комутативність й асоціативність операції додавання пар слідують відповідно з комутативності й асоціативності додавання дійсних чисел, оскільки додавання пар зводиться до додавання їх компонент (дійсних чисел).

Операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання. Справді, для будь-яких одержимо:

Правы частини цих співвідношень є рівними, відтак рівними є й ліві частини.

1. Для будь-яких справджується розподільний закон множення пар відносно додавання:

У множині виконується також операція віднімання. Нехай та - довільні пари з множини Різницею даних пар буде пара яка задовільняє умові Віднайдімо цю пару:

відтак

У системі виконується операція ділення (окрім ділення на нуль). Нехай та - довільні пари з причому Тоді принаймні одна з компонент та є відмінною від нуля, тому

Часткою від ділення пари на пару є пара яка задовільняє умові Віднайдімо цю частку:

З цього слідує, що віднаходження пари є рівносильним вирішенню системи рівнянь Вона має єдине рішення:

Відповідно, у випадку, коли частка існує, причому лише одна:

Протилежною до пари є пара Якщо вважати то одержимо, що для відмінною від нуля пари зворотною буде пара

Вважаймо, що (наприклад, та що За такого міркування можна сказати, що система дійсних чисел є підсистемою системи (з огляду на співпадаючі в цих системах бінарні операції).

Побудована таким чином числова система повинна містити рішення рівняння Одним із коренем цього рівняння є елемент системи Справді, Елемент є другим коренем рівняння Елемент позначають символом тоді елемент буде позначатися символом Відповідно, Оскільки та то і тому Таким чином, кожний елемент системи можна записати у вигляді де

Нехай - будь-яке розширення системи дійсних чисел яке містить декотрий елемент для якого Оскільки та відповідно то Однак у системы немає дільників нуля. Тому принаймні один із співмножників та є рівним нулю. Якщо то та для будь-якого елемента одержимо ; якщо ж то і тоді У обох випадках кожний елемент системи міститься у підсистемі та, відповідно, співпадає із

Комплексні числа часто позначають грецькими літерами або літерою Таким чином, кожний елемент системи (тобто кожне комплексне число ) можна записати у вигляді де та - декотрі дійсні числа, а

Запис називається алгебричною формою комплексного числа. Комплексне число називається уявною одиницею, а числа - уявними числами. У записі число називається дійсною частиною комплексного числа число - уявною частиною, а число - коефіцієнтом уявної частини комплексного числа Дійсна частина комплексного числа позначається а уявна -

Комплексне число називається алгебричним, якщо воно задовільняє декотрому рівнянню виду де серед яких є хоча б одне відмінне від нуля. Степенем алгебричного числа є найменше додатне ціле число за якого задовільняє рівнянню степені Наприклад, будь-яке раціональне число є алгебричним першої степені, - алгебричне число другого степеня, - алгебричне число степені Число, яке не є алгебричним, називається трансцендентним.

Дії над комплексними числами[ред.]

Додавання, віднімання, множення та ділення комплексних чисел здійснюється за наступними формулами:

  • де

За додавання комплексних чисел додаються окремо їх дійсні частини й окремо коефіцієнти уявних частин, а за віднімання комплексних чисел віднімаються окремо їх дійсні частини та коефіцієнти уявних частин. Комплексні числа множаться по правилу множення суми на суму.

Розгляньмо приклади:

Два комплексних числа, які відрізняються один від одного лише знаком при уявній частині, називаються спряженими. Число, спряжене із комплексним числом позначається Наприклад, комплексне число є спряженим із комплексним числом Дійсне число є спряженим із самим собою.

Таким чином, щоб розділити комплексне число на комплексне число достатньо чисельник й знаменник дробу помножити на число яке є спряженим із знаменником.

Сума та добуток спряжених комплексних чисел є дійсними числами. Нехай Тоді Одержимо:

  • ;
  • (за добуток є додатним числом).

Якщо у сумі кожний доданок замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число спряжене із Зокрема, нехай та Тоді:

  • ;

Таким чином, число, спряжене із сумою двох чисел, дорівнюєсумі чисел, спряжених із доданками.

Якщо у добутку кожний співмножник замінити спряженим комплексним числом, то одержимо число спряжене із Зокрема, якщо та тоді:

Таким чином, число, спряжене із добутком двох комплексних чисел, дорівнює добутку чисел, спряжених із співмножниками.

Якщо у різниці зменшуване й від'ємник замінити спряженими комплексними числами, то одержимо число спряжене із Таким чином, число, спряжене із різницею комплексних чисел та дорівнює різниці чисел, спряжених із сислами та

Якщо у частці ділене та дільник замінити спряженими до них числами, то одержимо число спряжене із Таким чином, число, спряжене із часткою від ділення числа на число дорівнює частці чисел, спряжених із числами та

Якщо довільне число виражається через комплексні числа (не обо'язково різні) за допомогою додавання, віднімання, множення та ділення, то, замінюючи у цьому виразі усі числа спряженими, одержимо число спряжене із Запевнимося у цьому, використовуючи математичну індукцію. У виразі числа через числа вказано, у якому порядку виконуються операції додавання, множення, віднімання та ділення. Застосуймо одну з цих операцій до числа яке виражається через числа та до числа яке виражається через числа Замінімо числа та спряженими до них числами. Тоді за індукцією числа та також заміняться спряженими числами та а відповідно, число заміниться на спряжене до нього

Радикал[ред.]

На основі визначення кореня пишуть При цьому висловлюють теорему, за якою щоб піднести корінь до степеня, достатньо підкореневе число піднести до цього степеня, а показник кореня залишити без змін, тобто У випадку одержуємо Однак у цьому випадку нічого не говориться про область застосування даної теореми, і можна дійти до висновку, що що є невірним, оскільки Відповідно, висловлювана теорема є не завжди справедливою. Тому до даної теореми роблять зауваження про те, що мова йдеться про арифметичний корінь.

У своїй книзі "Елементи алгебри" Ейлер пише: "Точно так само, як помножений на дає корінь ми будемо мати для значення добутку ; та або для значення добутку Ми бачимо, таким чином, що два уявних числа, перемножених один на одного, дають у добутку дійсне або можливе число". Далі він каже, що та що "одиниця, розділена на дасть чи оскільки є те саме, що й ".

Французький математик та викладач Луї П'єр Бурдон у книзі "Алгебра" пише: "Правила дій над кореневими величинами, справедливі для арифметичних чисел, можуть зазнати декотрих змін для чисто алгебричних виразів". Далі він говорить: "Вважаймо, наприклад, що необхідно віднайти добуток на ; тоді (за правилом 165) одержимо ". А потім доводить, що за умови, що перед кожним з чисел та стоїть знак

Таким чином, за Ейлером а за Бурдоном

Внаслідок багатозначності кореня втрачається сенс балакати про дії на коренями взагалі. Справді, що може означати добуток ? Який корінь необхідно помножити? Усі парадокси отримуються саме з того, що не враховується багатозначність кореня, підмінюючи одне значення кореня іншим. На цьому заснований відомий математичний софізм, у якому доводиться, що

й одержують звідки

Цей самий метод застосовується й для доказу теорем про корені. Зокрема, доказ теореми проводиться наступним чином: обидві частини підносяться до одного й того ж степеня після чого одержуються однакові вирази звідки робиться висновок, що числа є рівними між собою. Такий висновок можна було б зробити за єдиності кореня, однак корінь є багатозначним.

Коренем степені з комплексного числа називається число для якого й позначається

Нехай - довільне комплексне число. Припустімо, що квадратний корінь з числа існує і дорівнвює тобто Тоді або Визначмо та прирівнявши дійсні та уявні числа обох частин, внаслідок чого одержимо: Після піднесення кожного з цих рівнянь до квадрату й потім почленного їх додавання одержимо звідки (обераємо додатне значення кореня, оскільки числа та є дійсними, відповідно, ).

З рівнянь та одержуємо: Звідси слідує, що

За будь-яких та підкореневі вирази у цих формулах числа є невід'ємними. Відтак усі значення та є дійсними. Для віднаходження значення та не можна комбінувати довільно, оскільки у знак добутку повинен співпадати із знаком числа Відповідно, за значення та повинні мати протилежні знаки та, відповідно, радикали необхідно брати із протилежними знаками. Таким чином, якщо корінь квадратний з комплексного числа існує, то його значення визначаються формулами:

Квадрат довільного з чисел, заданих цими формулами, дорівнює Таким чином, ці числа є значеннями квадратного коленя з числа У випадку, коли то

Таким чином, операція вилучення квадратного кореня у системі завжди виконувана: якщо то а якщо то має у системі два значення, які відрізняються один від одного лише знаком. Зокрема, квадратний корінь з від'ємного числа у системі приймає два уявних значення. Справді, якщо та то оскільки корінь повинен бути додатним. Відтак та тобто та та, відповідно,

Наприклад, розгляньмо квадратний корінь Розгляньмо також

Цей метод вилучення квадратного кореня з комплексного числа не можна застосовувати на корені більш високого степеня, оскільки вилучити корінь вищого (більшого, ніж другого) степеня з комплексного числа у алгебричній формі неможливо. Наприклад, вже для кубічного кореня з припущення одержуємо систему рівнянь для вирішення якої необхідно уміти знаходити корені кубічного рівняння.

Припущення про те, що корінь непарного степеня з додатного числа має лише одне додатне значення, а корінь парного степеня з додатного числа має два значення, є невірним.

Питання про вилучення кореня будь-якого степеня з комплексного числа можна вирішити, якщо скористатися тригонометричною формою числа

Геометричний зміст комплексного числа[ред.]

Кожне комплексне число де - уявна одиниця (), зручно зображувати точкою площини із декартовими координатами Із кожною точкою площини пов'язаний взаємно однозначно вектор із початком у точці координат (тобто проводиться від початкової точки). Такий вектор називають радіус-вектором точки а координати точки називаються компонентами радіус-вектора. Тому комплексне число геометрично можна зобразити за допомогою радіус-вектора із координатами Точку із декартовими координатами називають афіксом (лат. affixus - прикріплений, причеплений).

Rvector123.tif

Якщо та - два комплексних числа, а та - відповідні їм радіус-вектори, то формули для чисел та за визначенням наступні: та З правил додавання й віднімання векторів (правило паралелограму) слідує, що вектори та мають координати та відповідно. Тому сумі й різниці комплексних чисел відповідають радіуси вектори, які є сумою та різницею радіусів-векторів, які позначають дані комплексні числа.

Paralelocomp.tif

Число є числом, спряженим Нехай є кінцем радіус-вектора який відповідає числу a є кінцем радуса-вектора який відповідає спряженому Оскільки точки та мають відповідно координати та то одержується з відбиттям у осі

Iversijacomp.tif

Нехай - декотре комплексне число та - радіус-вектор, який зображує це число. Позначмо через довжину вектора а через кут, відлічуваний від додатної частини осі до вектора проти годинкової стрілки. Число називається модулем комплексного числа, а кут - його аргументом. Модуль позначають літерою а аргумент Таким чином, для комплексного числа одержимо та Звідси Запис числа у вигляді називається тригонометричною формою комплексного числа.

Modulzcomp.tif

Разом із кутами, відлічуваними від додатної частини осі до вектора проти годинкової стрілки, розглядають й від'ємні кути, які відлічуються від додатної частини осі до вектора за напрямком годинкової стрілки.

Якщо - число, спряжене числу то

Тому в якості аргумента числа можна взяти будь-який з кутів чи Оскільки синус та косинус є періодичними функціями із періодом то значення аргумента комплексного числа визначається із точністю до цілого кратного Тому виділяють серед значень аргумента так зване головне значення, яке знаходиться в межах від нуля до

Iversjacomp.tif

Логарифм комплексного числа[ред.]

За будь-яких значень числа під виразом розуміють наступну рівність:

Число називається логарифмом комплексного числа якщо справджується наступна рівність: Наприклад, нехай У системі дійсних чисел для будь-якого рівність є неможливою. Однак за припущення, що число має комплексний логарифм то при цьому

За розгляду модулів обох частин одержимо тобто повинне існувати дійсне число для якого однак це неможливо. Відтак число у системі комплексних чисел логарифмів не має.

Аналітична функція[ред.]

Похідна функції у точці визначається за формулою: Якщо має похідну не лише у точці але й у кожній точці з декотрого околу точки (декотрого кола із центром у точці ), то функція називається аналітичною у точці

Функція називається аналітичною на множині якщо вона є аналітичною у кожній точці Наприклад, функція має похідну у кожній точці комплексної -площини (площини із точками ): Таким чином, Однак вона має похідну й у околі точки тобто функція є аналітичною на усій комплексній -площині. Функція ж має похідну лише у точці У цьому випадку функція у даній точці не є аналітичною. Не є аналітичними й функції

До аналітичних функцій відносяться раціональні функції від змінної (тобто відношення поліномів ) та функції, які можна визначити у деякому колі у вигляді степеневого ряду чи

Основна теорема алгебри[ред.]

За основною теоремою алгебри, будь-який поліном із показником степеня має хоча б один корінь (комплексний чи дійсний). Іншими словами, у системі не лише квадратний поліном але й будь-який поліном який не є константою, має корені. Якщо б поліном не мав жодного комплексного кореня, то була б функцією, регулярною в усій площині комплексної змінної та обмеженою (навіть збігалася б до нуля) за (за теоремою Ліувіля - константною). Тоді й був би константою.

Геометричний зміст основної теореми алгебри[ред.]

Основна теорема алгебри була доведена Гаусом у 1799 році для часткового випадку поліномів із дійсними коефіцієнтами. Математик Л.С.Понтрягін запропонував несуворий, але геометрично наочний її доказ, який полягає у наступному. На відміну від системи дійсних чисел система комплексних чисел є алгебрично замкнутою: розглядаючи корені поліномів у системі не можна одержати нових чисел. Система слідує з системи дійсних чисел приєднанням лише одного кореня рівняння

Якщо вважати, що точка у площині комплексної змінної переміщується у часі, тоді час змінюється у межах Таким чином можна вважати, що у площині заданий шлях. Розгляньмо функцію дійсної змінної Ця функція приймає комплексні значення, задані на відрізку

Ця формула задає шлях точки без стрибків, відтак є неперервною функцією. Варто відзначити, що шлях - це процес руху, а не лінія, яка описує рух точки.

Zfunccyc.tif

У процесі руху точка може у різні моменти часу повертатися у одну й тусаму точку площини, відтак можлива рівність за Відтак шлях може мати самоперетин. Точка називається початком шляху, а точка - кінцем шляху. Якщо то шлях називається замкнутим.

Geofzcyc.tif

Будемо вважати, що шлях не проходить через початок координат, тобто значення функції не набуває значення ні за якого значення Для будь-якого значення визначений аргумент комплексного числа із точністю до доданка де є індексом замкнутого шляху у площині комплексної змінної Індекс можна визначити лише за умови, якщо шлях не проходить через початок координат. Оберімо початкове значення аргумента Якщо аргумент точки змінюється разом із плином неперервно, то функція є неперервною (без стрибків). Якщо початкове значення аргумента замінити на то він буде відрізнятися від попереднього рівно на на протязі виміру Таким чином, за такого задання функції величина є незалежною від довільного обраного початкового значення аргумента числа Якщо точки та співпадають, то шлях замкнутий, відповідно, їх аргументи та можуть відрізнятися лише на Тому у випадку замкнутого шляху різниця

Уведімо у розгляд поняття деформації шляху. Вважаймо, що шлях деформується, якщо він поступово змінюється без стрибків в залежності від декотрого параметра. Оберімо у площині пряму, паралельну осі Ця пряма має рівняння де - фіксоване число. Вважаймо, що Для точок прямої маємо де Нехай для точок площини які відповідають точкам прямої Визначмо залежності де Коли пробігає усі дійсні числа, то точка опише деяку фігуру. Виключимо з останніх двох рівнянь виразивши Відтак для одержимо Це рівняння задає у деяку параболу. Віссю є дійсна вісь, а гілки цієї параболи спрямовані ліворуч. Знайдімо її точки перетину із осями координат: якщо то ; якщо то та Таким чином, функція деформує пряму, паралельну у параболу. Множина прямих, паралельних уявній осі (тобто прямі, задані рівняннями ), перетворюється у множину парабол, чиї гілки йдуть ліворуч. За будь-якого пряма із рівнянням та пряма із рівнянням (вони є симетричними відносно уявної осі) переходять у одну і ту саму параболу. Із наближенням прямої до уявної осі (із зменшенням числа ) відповідна парабола все ближче прилягає до від'ємному променю дійсної осі.

Так само можна показати, що та сама функція деформує кожну пряму (де - деяка фіксована величина, причому ) у параболу У цьому випадку функція деформує множину прямих у множину парабол, гілки яких спрямовані праворуч.

Кожна парабола першої множини (із гілками ліворуч) перетинає кожну параболу другої множини (із гілками праворуч). На наступному малюнку показані параболи, у які функція деформує прямі, паралельні осям ординат.

Paraboladefornliniya.tif

Якщо числове значення комплексної змінної можна віднайти, знаючи значення іншої комплексної змінної то змінна називається функцією змінної й записується Якщо комплексна функція комплексної змінної має похідну, то вона називається аналітичною функцією.

Розгляньмо поліном де є комплексними коефіцієнтами, а степінь полінома - невід'ємне ціле число. Головна ідея полягає у тому, щоб запевнитися, що цей поліном має корінь, тобто рівняння за має рішення.

Переконаймося у існуванні такого рішення, розглянувши шлях де Цей шлях описує замкнутий шлях де Він залежить від параметра та за його зміни деформується. За число дорівнює і шлях складається із нерухомої точки Відтак його індекс за дорівнює Якщо взяти параметр достатньо великим, то цей шлях буде дорівнювати Випадок, коли вільний член дорівнює нулю, є тривіальним, оскільки поліном має відповідно корінь Якщо то за зміни числа шлях, деформуючись, пройде за деякого значення через початок координат, а це означає, що за деякого значення поліном буде рівним нулю, тобто корінь у цього полінома існує.

Gweqg2g2g.tif

Продеформуймо шлях у більш простий. Для цього розкладімо поліном на суму двох поліномів де задається формулою Оскільки коефіцієнти полінома є визначеними числами, то усі вони не перебільшують по модулю деяку константу За правилом паралелограму - це діагональ паралелограму, побудованого на векторах Звідси слідує нерівність За одержимо

Розгляньмо поліном який залежить від параметра де Він задається формулою Маємо рівність звідки звідки слідує

Якщо позначити через одержимо нерівність Відтак за права частина попередньої нерівності є додатною. Відповідно, модуль функції не набуває нульового значення за будь-якого значення параметра якщо лише

За поліном перетворюється на поліном Індекс шляху коли описує коло дорівнює За поліном перетворюється на поліном та замкнутий шлях , який ним описується, має індекс за Якщо вважати, що за зміни від до де цей шлях перетворюється у одну точку та його індекс дорівнює а за його індекс дорівнює Таким чином, у процесі зміни шлях за деякого значення проходить через початок координат, а це значить, що поліном за деякого значення набуває нульового значення.

Резольвенти[ред.]

Резольвентою рівняння степені незвідним у системі називається рівняння (де - поліном) таке, що приєднання одного з коренів рівняння до системи дає систему, яка містить усі корені рівняння Коефіцієнти алгебричного рівняння раціонально залежать від коефіцієнтів тому знання коренів рівняння дозволяє віднайти корені

Поняття резольвенти було уведене у зв'язку із задачею рішення довільного рівняння степені

Дійсні числа