Основні числові системи/Дійсні числа

Логотип Вікіпедії

Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Дійсне число

Основні аксіоми

Системою дійсних чисел називається впорядкована множина, у якій кожна обмежена згори підмножини його елементів має точну верхню грань. Система дійсних чисел позначається літерою $\mathbb {R} .$ Більш широко: система дійсних чисел - будь-яка множина $\mathbb {R} =\{a,b,c,...\},$ яка містить принаймні два різних елементи, на якій визначені дві бінарні операції - додавання й множення, а також уведене відношення $a<b$ ("$a$ менше $b$"), причому справджуються наступні аксіоми.

Аксіоми системи.
1. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується сполучний закон додавання: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
2. Для усіх $a,b,\in \mathbb {R}$ справджується переставний закон додавання: $a+b=b+a$.
3. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ виконується операція віднімання: існує таке $c\in \mathbb {R} ,$ що $a+c=b$.
4. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується сполучний закон множення: $(ab)c=a(bc)$.
5. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ справджується переставний закон множення: $ab=ba$.
6. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ справджується розподільний закон множення відносно додавання: $(a+b)c=ac+bc$.
7. Для усіх $a,b\in \mathbb {R}$ за $a\neq 0$ виконується операція ділення (окрім ділення на нуль): існує таке $r\in \mathbb {R} ,$ що $ar=b$.

Слідства:

• у системі дійсних чисел сума та добуток декількох елементів (дійсних чисел) не залежать від способу розташування дужок й порядку відповідно доданків та множників.
• справедливими є визначені раніше правила множення й розкриття дужок;
• для кожного числа $a$ існує протилежне число $-a$;
• для кожного відмінного від нуля числа $a$ існує протилежне число $a^{-1}$;
• немає ділених, дільниками яких є нуль.

Аксіоми впорядкування.
8. Для довільних $a,b\in \mathbb {R}$ виконується лише одне із співвідношень: $a=b,$ або $a<b,$ або $b<a$.
9. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ відношення $a<b$ є транзитивним: $a<b\land b<c\Rightarrow a<c$.
10. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ монотонність додавання: $a<b\Rightarrow a+c<b+c$.
11. Для усіх $a,b,c\in \mathbb {R}$ монотонність множення: $a<b\land c>0\Rightarrow ac<bc$.

Слідства:

• з точка зору бінарних операцій й відношення порядку система раціональних чисел міститься у системі дійсних чисел $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$; саме у такому розумінні система раціональних чисел є підсистемою системи дійсних чисел (при цьому говорять, що $\mathbb {R}$ є розширенням системи раціональних чисел $\mathbb {Q}$).

Функція Діріхле - функція $\chi _{{}_{D}}(\mathbb {R} ),$ визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення з множини ${\textbf {2}}=\{1,0\},$ зокрема, значення $1,$ якщо аргумент $x\in \mathbb {R}$ є раціональним числом, та значення $0,$ якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

$\chi _{{}_{D}}(x)={\begin{cases}x\in \mathbb {Q} \Rightarrow 1,\\x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \Rightarrow 0,\end{cases}}$

де $\mathbb {Q}$ множина раціональних чисел, а $\mathbb {R}$ - множина дійсних чисел.

Аксіома точної верхньої грані.
12. Будь-яка обмежена згори множина $A\subset \mathbb {R}$ має у $\mathbb {R}$ точну верхню грань.

Дедекіндовий перетин

Нехай $A\subset \mathbb {R}$ - підмножина множини усіх дійсних чисел. Припустімо, що серед чисел $a\in A$ немає найбільшого. Здійснімо перетин у області усіх дійсних чисел: до верхнього класу $C'$ віднесемо усі перхні границі $a'$ множини $A,$ а до нижнього класу $C$ - усі інші дійсні числа $a.$ При цьому розбитті множини $\mathbb {R}$ на дві частини $C\,|\,C'$ усі числа $a$ множини $A$ попадуть до класу $C,$ оскільки жодне з них за припущенням не буде найбільшим. Таким чином, обидва класи $C$ та $C'$ є непустими. Це розбиття є перетином, оскільки усі дійсні числа розподілені по класам, де кожне число класу $C'$ є більшим від будь-якого числа класу $C.$ За теоремою Дедекінда повинне існувати число $r,$ яке здійснює перетин. Усі числа $a\in C$ не перебільшують це "примежеве" число $r,$ тобто $r$ є верхньою межею для $a$ та, відповідно, міститься у класі $C'$ і є там найменшим. Розмірковуючи аналогічним чином, можна сказати, що число $r$ є найбільшим у класі $C$ та нижньою межею для $a'.$

Для кожного дійсного числа $x\in \mathbb {R}$ існує протилежне (симетричне) до нього число $-x\in \mathbb {R} ,$ яке задовільняє умові $x+(-x)=0.$ Розгляньмо число $x,$ яке визначається перетином $C\,|\,C'.$ Визначмо число $-x$ за допомогою перетину ${\bar {C}}\,|\,{\bar {C}}'$ наступним чином. До нижнього класу ${\bar {C}}$ числа $-x$ віднесімо усі раціональні числа $-a',$ де $a'$ - довільне число класу $C',$ а до верхнього класу ${\bar {C}}'$ числа $-x$ віднісімо усі числа $-a,$ де $a$ - довільне число класу $C.$

Сума $x+(-x)$ є дійсним числом, яке міститься між числами $a-a'$ та $a'-a,$ де $a$ та $a'$ є раціональними та $a<x<a'.$ Однак $a-a'<0<a'-a,$ тому і число $0$ міститься між $a-a'$ та $a'-a.$ Через єдиність числа, яке має таку властивість, маємо $x+(-x)=0.$

Дедекіндовий перетин є аксіоматичним способом уведення іраціональних чисел. Наприклад, ${\sqrt[{3}]{3}}$ є іраціональним числом, яке розбиває раціональні числа на два класи: перший клас складають від'ємні числа, нуль та додатні числа $a^{3}<3,$ а другий клас складають додатні числа $b$ такі, що $b^{3}>3.$

Позиційний десятковий запис дійсного числа

Десятковий дріб - форма запису звичайного дробу ${\frac {a}{b}},$ у якого знаменник $b=10^{n},$ де $n\in \mathbb {N} .$ Наприклад,

$0.7={\frac {7}{10}},\quad \quad 1.4=1{\frac {2}{5}},\quad \quad {\frac {41}{1000}}=0.041,\quad \quad {\frac {605}{10}}=60.5.$

Кожний звичайний дріб можна подати у вигляді десяткового дробу. Для цього необхідно виконати дію ділення та поділити чисельник на знаменник. Наприклад, ${\frac {14}{11}}=1.27272727...,\quad \quad {\frac {1}{4}}=0.25,\quad \quad {\frac {7}{12}}=0.58333333...\,.$

Три крапки означає, що дріб є нескінченним. Періодом нескінченного дробу називається найменша група цифрових значень після крапки десяткового дробу, що повторюється. У дробах

$1.27272727...=1.(27),\quad \quad 0.58333333...=0.58(3),\quad \quad 0.25=0.250000...=0.25(0).$

Період записується у дужках, як показано у наведених прикладах. Нескінченний десятковий дріб, що містить період, називається періодичним.

Кожний нескінченний десятковий періодичний дріб може бути поданий у вигляді звичайного дробу. Наприклад, подамо дріб $a=0.58(3)$ у вигляді звичайного дробу. Період цього дробу складається з однієї цифри; помножимо $a$ на 10:

$10a=5.8333333...\,.$

Обчислимо різницю $10-a=5.8333333...-0.58333333...\Rightarrow 9a=5.25\Rightarrow a={\frac {5.25}{9}}={\frac {525}{900}}={\frac {7}{12}}.$ Таким чином, $0.58(3)={\frac {7}{12}}.$

За будь-якого $b>0$ система напівінтервалів

$[a-b,\,a)\supset [a-{\frac {b}{2}},\,a)\supset [a-{\frac {b}{3}},\,a)\supset ...\supset [a-{\frac {b}{n}},\,a)\supset ...$

має непустий перетин. Справді, якщо б деяке число $\varepsilon$ належало усім напівінтервалам даної системи, то число $a-\varepsilon$ належало б усім напівінтервалам системи

$[0,\,b)\supset [0,\,{\frac {b}{2}})\supset [0,\,{\frac {b}{3}})\supset ...\supset [0,\,{\frac {b}{n}})\supset ...\,.$

Однак жодне число $a-\varepsilon >0$ не може належати усім напівінтервалам даної системи, оскільки за аксіомою Архімеда існує натуральне число $n,$ для якоо ${\frac {b}{n}}<a-\varepsilon .$

Яким б не було дійсне число $a,$ завжди знайдеться лише одне таке ціле число $m,$ що буде справджуватися нерівність $m\leq a<m+1.$ За принципом Архімеда існує таке натуральне число $n,$ що $n>|a|.$ Відповідно, $-n<a<n.$ Серед скінченного числа цілих чисел $-n,-(n-1),...,-2,-1,0,1,2,...,n$ оберімо перше число $m+1,$ за якого справджувалася б нерівність $a<m+1.$ Тоді одержимо $m\leq a<m+1.$ Нехай тепер існує ще одне ціле число $m_{1}$ таке, що $m_{1}\leq a<m_{1}+1.$ Якщо $m_{1}<m,$ тоді $m_{1}+1\leq m.$ Але у такому випадку справджувалася б нерівність $m_{1}+1\leq a,$ що суперечить нерівності $m_{1}+1>a.$ Відтак $m_{1}$ не може бути меншим від $m.$ Так само $m_{1}>m$ не справджується. Відповідно, $m_{1}=m.$

Нехай $a>0$ - довільне додатне дійсне число, відмінне від нуля. Існує таке ціле невід'ємне число $m,$ що справджується нерівність $m\leq a<m+1.$ Розділімо напівсегмент $[m,\,m+1)$ на десять напівсегментів

$\Delta _{0}=[m,\,m+{\frac {1}{10}}),\quad \Delta _{1}=[m+{\frac {1}{10}},\,m+{\frac {2}{10}}),\quad ...,\quad \Delta _{8}=[m+{\frac {8}{10}},\,m+{\frac {9}{10}}),\quad \Delta _{9}=[m+{\frac {9}{10}},\,m+1).$

Число $a$ міститься лише у одному з цих напівінтервалів, оскільки вони не перетинаються. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}},$ де $i_{1}$ є одним з чисел від $0$ до $9.$ Тоді $m+{\frac {i_{1}}{10}}\leq a<m+{\frac {i_{1}+1}{10}}.$

Напівінтервал $\Delta _{i_{1}}=[m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}+1}{10}})$ розділімо на десять напівінтервалів:

$\Delta _{i_{1}0}=[m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {1}{100}}),\quad \Delta _{i_{1}1}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {1}{100}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {2}{100}}),\quad ...,\quad \Delta _{i_{1}9}=[m+{\frac {i_{1}}{9}}+{\frac {9}{100}},\,m+{\frac {i_{1}+1}{10}}).$

Число $a$ міститься лише у одному з даних напівінтервалів. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}i_{2}},$ де $i_{2}$ - одне з чисел $0,1,...,9.$ Тоді буде справджуватися нерівність $m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}+1}{10^{2}}}.$ У свою чергу, напівінтервал $\Delta _{i_{1}i_{2}}$ розділімо на десять напівінтервалів:

${\begin{matrix}\Delta _{i_{1}i_{2}0}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {1}{1000}}),\quad \Delta _{i_{1}i_{2}1}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {1}{1000}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {2}{1000}}),\quad ...,\quad \\\,\\...,\quad \Delta _{i_{1}i_{2}9}=[m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{100}}+{\frac {9}{1000}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}+1}{100}}).\end{matrix}}$

Число $a$ міститься лише у одному з цих напівінтервалів. Нехай $a\in \Delta _{i_{1}i_{2}i_{3}},$ де $i_{3}$ - одне з чисел $0,1,...,9.$ У цьому випадку $m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}}{10^{3}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}+1}{10^{3}}}.$ Це міркування можна продовжувати нескінченно, одержуючи нескінченну послідовність чисел $m,i_{1},i_{2},i_{3},...,i_{n},...,\,$ таку, що для довільного натурального числа $n$

$m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\leq a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n-1}}{10^{n-1}}}+{\frac {i_{n}+1}{10^{n}}}.$

Можина раціональних чисел

$m,\,m+{\frac {i_{1}}{10}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}},\,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+{\frac {i_{3}}{10^{3}}},...,m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}$

таким чином, є обмеженою згори і тому, за аксіомою точної верхньої грані, має у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$ точну верхню грань $b.$ Число $b$ за визначенням точної верхньої грані не може бути більшим від $a.$ Воно також не може бути меншим від числа $a,$ оскільки за будь-якого натурального числа $n$ справджувалися б нерівності

$m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\leq b<a<m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n-1}}{10^{n-1}}}+{\frac {i_{n}+1}{10^{n}}},$

та, відповідно, і нерівність $a-b<{\frac {1}{10^{n}}},$ що суперечить наслідку з аксіоми Архімеда. Відповідно, $a=\sup\{m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}\,|\,n=1,2,3,...\}.$

При цьому пишуть $a=m+{\frac {i_{1}}{10}}+{\frac {i_{2}}{10^{2}}}+...+{\frac {i_{n}}{10^{n}}}+...,$

або, у скороченому вигляді, $a=m,i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}...\,.$ Запишімо ціле невід'ємне число $m$ у десятковій системі лічби $m=j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},$ де $j_{k}$ за $0\leq k\leq p$ - одне з чисел $0,1,...,9,$ причому $j_{p}\neq 0.$ Тоді скорочений запис запишеться наступним чином: $a=j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},\,i_{1}i_{2}...i_{n}...\,.$ Ціле невід'ємне число $j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0}$ називається цілою частиною числа $a,$ a $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ називають відповідно першим, другим, ..., $k$-тим десятковим знаком числа $a.$ Символічний запис

$j_{p}j_{p-1}...j_{1}j_{0},\,i_{1}i_{2}...i_{n}...$

називають десятковим розкладом, або десятковим записом, числа $a.$

Розгляньмо тепер число $0<x<1.$ Арифметичним доповненням числа $x$ називається різниця між одиницею та числом $x.$ Наприклад, арифметичним доповненням числа $0.5123$ є число $1-0.5123=0.4877.$

Логарифми

Логарифмом додатного числа $y$ із основою $x$ (де $x>0$ та $x\neq 1$) називається показник степеня, до якого треба піднести основу $x,$ щоб одержати число $y.$ Таким чином, якщо $x^{n}=y,$ де $x>0$ та $x\neq 1,$ то $\log _{x}y=n.$ Та навпаки, якщо $\log _{x}y=n,$ то $x^{n}=b.$ Наприклад, $\log _{2}16=4,$ оскільки $2^{4}=16.$

Якщо існує таке раціональне число $q,$ що $x^{q}=y,$ де $x,y\in \mathbb {R} _{+}$ (множина додатних дійсних чисел) та $x>1.$ то $q$ є шуканим логарифмом.

Припустімо, що такого раціонального числа $q$ немає. Тоді можна здійснити перетин $Q\,|\,Q'$ у області усіх раціональних чисел $\mathbb {Q}$ за правилом:

• $q\in Q,$ якщо $x^{q}<y$;
• $q'\in Q',$ якщо $x^{q\,'}>y.$

Нехай тепер $n\in \mathbb {N}$ та $n>1,$ а також $y\in \mathbb {R}$ та $y>1.$ Тоді $y^{n}>1+n(y-1).$ Справді, якщо $y=1+\varepsilon ,$ де $\varepsilon >0,$ за формулою бінома Н'ютона одержимо $(1+\varepsilon )^{n}=1+n\varepsilon +...,$ а оскільки ненаписані члени є додатними, то $(1+\varepsilon )^{n}>1+n\varepsilon .$

Тоді $x^{n}>1+n(x-1)>n(x-1),$ і щоб одержати $x^{n}>y,$ необхідно взяти $n>{\frac {y}{x-1}}.$ Таке натуральне число $n$ належить до класу $Q'.$

У той же час $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}<{\frac {1}{n(x-1)}},$ і щоб одержати $x^{-n}<y,$ необхідно взяти $n>{\frac {1}{y(x-1)}}.$ У цьому випадку число $n$ належить до класу $Q.$

Побудований перетин $Q\,|\,Q'$ визначає дійсне число $r,$ яке називається примежевим між числами обох класів $Q$ та $Q'.$

За визначенням степені $x^{q}<x^{r}<x^{q\,'}$ за $q<r<q',$ причому $x^{r}$ є єдиним числом, яке задовільняє усім подібним нерівностям. Однак для числа $y$ за побудовою перетину маємо $x^{q}<y<x^{q\,'},$ відтак $x^{r}=y$ та $r=\log _{x}y.$

Логирифм за основою $x=10$ називається десятковим логарифмом. При цьому записують $\log _{10}y=\lg y.$ Мантисою називається десяткова частина десяткового логарифму. Наприклад, якщо $\lg 200=2.3010,$ то число $0.3010$ є мантисою, а число $2$ - характеристикою логарифма.

Основною логарифмічною тотожністю є тотожність $x^{\log _{x}y}=y.$

Властивості логарифмів:

• $\log _{x}1=0$;
• $\log _{x}x=1$;
• $\log _{x}(ab)=\log _{x}a+\log _{x}b$;
• $\log _{x}{\frac {a}{b}}=\log _{x}a-\log _{x}b$;
• $\log _{x}a^{p}=p\cdot \log _{x}a$;
• $\log _{x^{m}}a={\frac {1}{m}}\cdot \log _{x}a$;
• $\log _{x}a={\frac {1}{\log _{a}x}}$ (за $a\neq 1$).

Формула переходу до іншої основи:

• $\log _{x}y={\frac {\log _{z}y}{\log _{z}x}}.$

Натуральний логарифм - це логарифм за основою $e,$ де $e$ - число Ейлера. При цьому записують $\log _{e}x=\ln x.$

Нерівності

Математику називають тавтологічною наукою: про математиків кажуть, що вони витрачають час на доказ того, що предмети є рівними самим собі. Це твердження (властиве філософам) є досить неточним, оскільки, по-перше, математика не є наукою; її радше можна навати мистецтвом, оскільки математична творчість є спорідненою до художньої творчості. По-друге, основні результати математики частіше виражаються нерівностями, а не рівностями.

Пригадаймо, що символ $>$ означає "більше". У такому випадку можна відповісти на запитання: чи правильно, що $-3>-6\,\,$? Відповідь на це запитання очевидна.

Точка $-3$ зображена правіше від точки $-6,$ тому необхідно вважати, шо $-6<-3.$ Якщо дійсні числа (додатні й від'ємні, раціональні та іраціональні числа, а також нуль) зображені геометрично звичайним способом у вигляді точок горизонтальної числової прямої, спрямованої праворуч, то при русі уздовж прямої праворуч числа будуть з'являтися у порядку їх зростання. Варто зауважити, що число може бути записане у вигляді суми одиниць; наприклад, $3=1+1+1$ або $5=1+1+1+1+1$ тощо.

Аксіома Архімеда

З аксіоми точної верхньої грані слідує наступна аксіома Архімеда: для будь-яких двох невід'ємних дійсних чисел $a$ та $b$ завжди знайдеться таке натуральне число $n,$ що справдиться нерівність $a\cdot n>b.$

Розміковуймо протилежно. Нехай у системі чисел $\mathbb {R}$ аксіома Архімеда не справджується. У цьому випадку існують дійсні числа $a>0$ та $b>0$ такі, що за будь-якого натурального $n\in \mathbb {N}$ справджується нерівність $na<b.$ Множина $A$ усіх дійсних чисел вигляду $na,$ таким чином, є обмеженою згори, і тому, за аксіомою точної верхньої грані, вона має точну верхню грань $\sup(A).$ Оскільки $\sup(A)$ - точна верхня грань множини $A=\{na\},$ то за визначенням точної верхньої грані, серед чисел $na$ існує число $pa>\sup(A)-a.$ Звідси слідує, що $(p+1)a>\sup(A),$ а це суперечить тому, що $\sup(A)$ - точна верхня грань множини $A=\{na\}.$ Таким чином, припущення, за якого у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$ аксіома Архімеда не справджується, приводить до суперечливості, і тому це припущення є невірним.

Зокрема, якщо $a=1,$ одержуємо: для будь-якого $b\in \mathbb {R}$ існує таке натуральне число $n,$ що $n>b.$ Впорядкована система, у якій справджується аксіома Архімеда, називають архімедівськи впорядкованою. Таким чином, система $\mathbb {R}$ є архімедівськи впорядкованою.

Із сказаного слідує, що для будь-яких дійсних чисел $a>0$ та $b>0$ існує таке натуральне число $n,$ що ${\frac {b}{n}}<a.$ Справді, існує таке натуральне $n\in \mathbb {N} ,$ що $n>{\frac {b}{a}}.$ Якщо помножити цю нерівність на ${\frac {a}{n}},$ отримаємо ${\frac {b}{n}}<a,$ зокрема ${\frac {a\not {n}}{\not {n}}}>{\frac {b\not {a}}{\not {a}n}}.$

Нехай $a,b\in \mathbb {R}$ такі, що $a<b.$ Сукупність усіх дійсних чисел $x,$ які задовільняють нерівностям $a\leq x\leq b,$ називають відрізком (сегментом) й позначають символом $[a,b].$ Числа $a$ та $b$ називають відповідно лівим й правим кінцями відрізка. Сукупність усіх дійсних чисел $x,$ що задовільняють нерівностям $a<x<b$ називають інтервалом із лівим кінцем $a$ та правим кінцем $b$ й позначають $(a,b).$

Сукупість дійсних чисел $x,$ що задовільняють нерівностям $a<x\leq b$ та $a\leq x<b$ називають напівінтервалами (напівсегментами, променями) й позначають відповідно $(a,b]$ та $[a,b).$ Відрізки, інтервали й напівінтервали називають проміжками.

Кожний інтервал $(a,b)$ містить раціональне число. Справді, нехай $h=b-a>0,$ тоді за аксіомою архімеда існує натуральне число $n$ таке, що ${\frac {1}{n}}<h.$ Існує таке натуральне число $m,$ що $m\cdot {\frac {1}{n}}>|a|.$ Відповідно, $(-m)\cdot {\frac {1}{n}}<a<m\cdot {\frac {1}{n}}.$ Серед цілих чисел $-m,-(m-1),...,-1,0,1,2,...,m$ існує таке число $m,$ що $m\cdot {\frac {1}{n}}\leq a<(m+1)\cdot {\frac {1}{n}},$ тобто ${\frac {m}{n}}\leq a<{\frac {m+1}{n}}.$ З нерівностей ${\frac {m}{n}}\leq a<{\frac {m+1}{n}}$ слідує, що ${\frac {m+1}{n}}-a\leq {\frac {m+1}{n}}-{\frac {m}{n}},$ тобто ${\frac {m+1}{n}}-a\leq {\frac {1}{n}}<h=b-a$ та, відповідно, ${\frac {m+1}{n}}<b.$ Таким чином, $a<{\frac {m+1}{n}}<b,$ тобто ${\frac {m+1}{n}}\in (a,b).$

Зі сказаного слідує, що у інтервалі $(a,b)$ міститься нескінченна чисельність раціональних чисел.

Модуль дійсного числа

Модуль дійсного числа $a$ - саме це число $a\in \mathbb {R} ,$ для якого справджуються наступні умови:

$|a|={\begin{cases}a,\,{\text{якщо}}\,a>0,\\0,\,{\text{якщо}}\,a=0,\\-a,\,{\text{якщо}}\,a<0.\end{cases}}$

Наприклад, $|15|=15,\,\,|-3|=3,\,\,|0|=0,\,\,|{\sqrt {5}}-6|=-({\sqrt {5}}-6)=6-{\sqrt {5}}.$

Нехай $a$ та $b$ - довільні дійсні числа. Оскільки на множині дійсних чисел визначене відношення часткового порядку $\leq ,$ то за довільного вибору чисел $a$ та $b$ невідомо, яке з чисел більше (менше). За допомогою функцій $\max$ та $\min$ визначмо два числа: $\max(a,b)$ та $\min(a,b),$ для яких справджується нерівність $\min(a,b)\leq \max(a,b).$ Оскільки кожна точка на числовій прямій ототожнюється із своєю координатою, то нерівність $\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)$ геометрично означає множину точок, що знаходяться між точками $\min(a,b)$ та $\max(a,b).$ Ця множина називається сегментом із кінцями $\min(a,b)$ та $\max(a,b)$ та позначається $[a,b].$ Зокрема, якщо $a\leq b$ (відповідно $a\geq b$), то маємо сегмент $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}$ (відповідно $[b,a]$). У випадку $a=b$ відрізок вироджується у точку $a=x=b.$ Таким чином, сегмент $[a,b]$ на числовій прямій - множина, визначена наступним співвідношенням: $[\min(a,b),\,\max(a,b)]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)\}.$ Точка ${\frac {a+b}{2}}$ є серединою сегмента із кінцями $a$ та $b.$ Із рівності $|a-{\frac {a+b}{2}}|=|b-{\frac {a+b}{2}}|$ та геометричного змісту абсолютної величини слідує, що точка ${\frac {a+2}{2}}$ рівновіддалена від кінців сегменту. Абсолютна величина пов'язана із функціями $\min$ та $\max ,$ тобто

$\max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}},\quad \quad \min(a,b)={\frac {a+b-|a-b|}{2}}.$

Справджуються також співвідношення $\min(a,b)\leq x\leq \max(a,b)\Leftrightarrow -{\frac {|a-b|}{2}}\leq x-{\frac {a+b}{2}}\leq {\frac {|a-b|}{2}}.$ Таким чином, сегмент може бути представлений наступним чином:

$[\min(a,b),\max(a,b)]={\begin{Bmatrix}x\in \mathbb {R} &:&\vert x-{\frac {a+b}{2}}\vert \leq \vert {\frac {a-b}{2}}\vert \end{Bmatrix}}$

Радикал

Радикалом (або коренем) степені $n\in \mathbb {N}$ з дійсного числа $a\in \mathbb {R}$ називається таке дійсне число $b\in \mathbb {R} ,$ що $b^{n}=a.$ Корінь степені $n$ з числа $a$ позначається ${\sqrt[{n}]{a}}.$ Відповідно, якщо $b^{n}=a,$ то $b={\sqrt[{n}]{a}}.$

Для будь-якого $a\in \mathbb {R} ,$ більшого від нуля, $a>0,$ та будь-якого $n\in \mathbb {N}$ існує лише одне таке число $b\in \mathbb {R} ,$ більше від нуля, $b>0,$ що $b^{n}=a,$ тобто ${\sqrt[{n}]{a}}$ має лише одне додатне значення $b.$

Нехай $A$ - множина усіх додатних дійсних $\mathbb {R} _{+}$ чисел $z$ таких, що $z^{n}\leq a.$ дійсні числа, які задовільняють цій умові, існують. Зокрема, цю умову задовільняють усі раціональні числа, які містяться у інтервалі $(0,a),$ коли $a<1$ та у інтвервалі $(0,1),$ коли $a\geq 1.$ Множина $A$ є обмеженою згори числом $1,$ якщо $a<1,$ та числом $a,$ якщо $a\geq 1.$ Тому вона має у системі дійсних чисел точну верхню грань.

Нехай $b=\sup(A).$ Запевнимося у тому, що $b^{n}=a.$ Зробімо припущення про те, що $b^{n}<a.$ Тоді $a-b^{n}=\varepsilon >0.$ Для будь-якого додатного $r\leq 1$ за формулою бінома Н'ютона одержимо:

${\begin{matrix}(b+r)^{n}=b^{n}+nb^{-1}r+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}r^{2}+...+nbr^{n-1}+r^{n}=b^{n}+r[nb^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}r+...+nbr^{n-2}+r^{n-1}]\leq b^{n}+r[nb^{n-1}+{\frac {(n(n-1))}{1\cdot 2}}]b^{n-2}+...+nb+1=\\=b^{n}+r[(1+b)^{n}-b^{n}].\end{matrix}}$

Оберімо число $r$ таким чином, щоб одначасно справджувалися нерівності $r\leq 1$ та $r<{\frac {\varepsilon }{(1+b)^{n}-b^{n}}}.$ Тоді одержимо $(b+r)^{n}\leq b^{n}+r[(1+b)^{n}-b^{n}]<b^{n}+\varepsilon =a,$ тобто $(b+r)^{n}<a,$ а це суперечить тому, що $b$ є точною верхньою гранню множини $A.$ Відповідно, $b^{n}\geq 0.$

Припустімо тепер, що $b^{n}>a,$ тоді $b^{n}-a=\varepsilon >0.$ Для будь-якого додатного $\delta \leq 1$ одержуємо

${\begin{matrix}(b-\delta )^{n}=b^{n}-nb^{n-1}\delta +{\frac {(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-2}\delta ^{2}+...+(-1)^{n-1}b\delta ^{n-1}+(-1)^{n}\delta ^{n}=\\=b^{n}-\delta [nb^{n-1}-{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-1}\delta +...+(-1)^{n-1}b\delta ^{n-2}+(-1)^{n}\delta ^{n-1}]\geq b^{n}-\delta [nb^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}b^{n-1}+...+b+1]=b^{n}-\delta [(1+b)^{n}-b^{n}].\end{matrix}}$

Оберімо число $\delta$ таким чином, щоб одночасно виконувалися нерівності $\delta \leq 1$ та $\delta <{\frac {\varepsilon }{(1+b)^{n}-b^{n}}},$ тоді одержимо $(b-\delta )^{n}\geq b^{n}-\delta [(1+b)^{n}-b^{n}]\geq b-\varepsilon =a,$ тобто $(b-\delta )^{n}>a,$ а це знову суперечить тому, що $b=\sup(A).$ Відповідно, $b^{n}=a.$

Таким чином, корінь ${\sqrt[{n}]{a}}=b$ існує. Але чи є він єдиним для $b$? Жодне відмінне від $b$ додатне дійсне число $b_{1}$ не може бути коренем степені $n$ з числа $a,$ оскільки якщо $b_{1}\neq b,$ то й $b_{1}^{n}\neq b^{n}$ та, відповідно, $b_{1}^{n}\neq a.$

Додатний дійсний корінь степені $n$ з додатного дійсного числа $a$ називається арифметичним значенням кореня степені $n$ з числа $a.$ Якщо $n$ - парне число, то окрім арифметичного значення $b$ існує також (лише одне) від'ємне значення $-b$ кореня степені $n$ з дійсного числа $a>0.$ Справді, за парного $n$ одержуємо $(-b)^{n}=[(-b)^{2}]^{\frac {n}{2}}=(b^{2})^{\frac {n}{2}}=b^{n}=a,$ тобто $-b$ є коренем степені $n$ з числа $a.$ Жодне інше від'ємне число не може бути коренем степені $n$ з числа $a,$ оскільки якщо $b_{1}<0$ та $b_{1}\neq -b,$ то й $b_{1}^{n}\neq (-b)^{n}=a.$

У випадку непарності $n$ корінь ${\sqrt[{n}]{a}}$ від'ємних значень не має, оскільки за непарного $n$ з нерівності $b_{1}<0$ слідує нерівність $b_{1}^{n}<0.$ Таким чином, кожна рівність виду $x^{n}=a$ за $a>0,$ зокрема, й рівність $x^{2}=a$ (відшукання такого $x,$ за якого справджувалася б дана рівність, здійснюється у системі дійсних чисел $\mathbb {R}$). За парного $n$ одержуємо два рішення: ${\sqrt[{n}]{a}}$ та $-{\sqrt[{n}]{a}},$ а за непарного $n$ - одне рішення ${\sqrt[{n}]{a}}.$

Послідовності

Розбиттям називається довільна (скінченна) послідовність $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k},...)$ цілих невід'ємних чисел, розташованих у несуворому порядку спадання, тобто $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k}\geq ...\,.$ Ця послідовність має лише скінченне число ненульових членів; розбиття $(3,2,1),\,\,(3,2,1,0),\,\,(3,2,1,0,0,0,...)$ є одним і тим самим розбиттям. Ненульові члени $a_{i}$ називаються частинами розбиття $a.$ Число частин розбиття називається його довжиною й позначається $\mathrm {card} (I),$ а сума усіх частин - вагою розбиття й позначається $\sum _{i}a_{i}=a_{1}+a_{2}+...\,.$

Числовою послідовністю називається функція $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,$ яка ставить у відповідність кожному натуральному числу $n\in \mathbb {R}$ у відповідність число $a\in \mathbb {R} .$ Послідовність позначають $(a_{n}),$ або $\{a_{i}\},$ або $a_{1},a_{2},...,a_{k},...,$ або ж $a=f(n),$ де $n\in \mathbb {N} .$ Якщо послідовність є скінченною, використовують також запис $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},$ яку називають сім'єю, де $i\in I$ називається лічильником (індексом), а $n=\mathrm {card} (I)$ - чисельністю елементів послідовності.

Проміжком $[a,b],$ де $a<b,$ називається сукупність усіх дійсних чисел $x,$ зосереджених між $a$ та $b,$ включно із кінцевими точками $a$ та $b$, тобто $a\leq x\leq b.$ Точки проміжку, відмінні від початкової й кінцевої, називаються внутрішніми. Довжиною проміжку $[a,b]$ називається різниця $b-a$ (довжина проміжку - завжди додане число). Центр проміжку $[a,b]$ - це число (точка) ${\frac {a+b}{2}}.$ Вираз $|a-b|$ називається відхиленням, або відстанню, точки $a$ від точки $b$ (або точки $b$ від точки $a$). Зрозуміло, що за будь-яких $a$ та $b$ справджується нерівність $|a-b|\geq 0.$

Околом $U$ точки $x$ називається сукупність внутрішніх точок будь-якого проміжку, для якого $x$ є внутрішньою точкою. Чаcтіше за все доводиться мати справу із околами, для яких дана точка є центром. Під $\varepsilon$-околом точки $x$ розуміють сукупність точок, відстань яких від точки $x$ є меншою ніж $\varepsilon$; щоб точка $y$ належала до $\varepsilon$ околу точки $x,$ необхідно та достатньо, щоб справджувалася наступна пропозиція $(y-x<\varepsilon )\land (-(y-x)<\varepsilon ),$ яка є рівносильною виконанню однієї подвійної нерівності $x-\varepsilon <y<x+\varepsilon .$

Якою б не була обмежена нескінченна послідовність $(a_{n})=a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ завжди існує принаймні одна точка $x,$ яка має таку властивість, що у наскільки завгодно малому (по довжині) околі $U$ міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}).$ Метафорично це значить, що якщо у скінченному числі ящиків міститься нескінченна множина предметів, то хоча б у одному ящику виявиться нескінченна множина цих предметів. Якщо серед чисел $a_{n}$ будуть зустрічатися від'ємні, то будемо записувати їх у вигляді десяткових дробів із від'ємними характеристиками й додатними мантисами, зокрема, $-4,52038...={\bar {5}},47961...\,.$ Усі числа розбиваються на класи в залежності від характеристики, тобто по тому, яке число цілих одиниць стоїть відповідному записі ліворуч від коми. Чисельність таких класів є скінченною, відтак послідовність $(a_{n})$ є обмеженою, і тому усі числа $a_{n}$ зосереджені між двома числами $m$ та $k,$ тобто $m<a_{n}<k,$ де $n=1,2,3,...\,.$ Вважаймо числа $m$ та $k$ цілими. Тоді класів ("ящиків") буде стільки ж, скільки різних характеристик

$m,\,m+1,\,m+2,...,k-1,$

а саме $k-m.$ Оскільки множина членів послідовності $(a_{n})$ є нескінченною, то хоча б у одному з класів їх виявиться нескінченна множина. Іншими словами, серед чисел $m,\,m+1,\,m+2,...,k-1$ віднайдеться таке число $r,$ що нескінченна множина членів послідовності $(a_{n})$ мають характеристику $r,$ тобто задовільняють нерівності $r<x\leq r+1.$

Множина усіх натуральних чисел $m,$ які не перебільшують декотре натуральне число $n,$ символічно $m<n,$ називається початковим відрізком натурального ряду й позначається $[1,n].$ Якщо за деяким правилом кожному натуральному числу $n$ поставити у відповідність декотрий елемент $a_{n}\in A,$ то одержимо послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ елементів множини $A.$ Якщо послідовність задана лише на множині натуральних чисел, які належать до відрізку $[1,n],$ то вона називається скінченною послідовністю.

Розгляньмо індуктивний спосіб задання послідовності. Нехай задані члени послідовності $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Співвідношення між усіма або декотрими з членів цієї послідовності, які дозволяють обчислити наступний член $a_{n+1}$ цієї послідовності, називаються рекурентними (лат. recurrens - повернення) визначальними співвідношеннями. Таким чином, щоб обчислити який-небудь член послідовності, необхідно перш за все обчислити усі або декілька передуючих йому членів цієї послідовності. Задання послідовності за допомогою рекурентних визначальних співвідношень називається індуктивною побудовою цієї послідовності.

Арифметичною прогресією називається послідовність чисел, кожне з яких, починаючи із другого числа, одержується з попереднього додаванням до нього сталого числа $d,$ який називається різницею арифметичної прогресії. Якщо перший член арифметичної прогресії $a_{1},$ то вона має вид

$a_{1},\,a_{1}+d,\,a_{1}+2d,...,a_{1}+nd,...\,.$

Наприклад, послідовність чисел Фібоначчі визначається шляхом задання двох її перших членів $a_{1}=a_{2}=1$ та рекурентним співвідношенням $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}.$ Таким чином, одержимо послідовність: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...\,.$

Сума перших $n$ членів арифметичної прогресії визначається наступною рівністю:

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n=(a_{1}+{\frac {d(n-1)}{2}})n.$

Геометричною прогресією називається послідовність чисел, кожне з яких, починаючи з другого числа, дорівнює попередньому, помноженому на декотре стале для даної геометричної прогресії число $q,$ яке називається знаменником прогресії. Якщо перший член геометричної прогресії $a,$ то вона має вид

$a,\,aq,\,aq^{2},\,...,aq^{n},...\,.$

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо значення знаменника цієї прогресії є більшим від одиниці, тобто $q>1,$ та спадною, якщо $q<1.$ Наприклад, якщо $q=2$ та $a=5,$ то одержимо геометричну прогресію $5,\,10,\,20,\,40,\,80,...\,.$ Якщо $q{\frac {1}{3}}$ та $a=3,$ тоді одержимо спадну послідовність $3,\,1,\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {1}{9}},...\,.$

Сума $n$ перших членів геометричної прогресії визначається за формулою $S_{n}={\frac {a-aq^{n}}{1-q}}.$

Таким чином, при заданих рекурентних визначальних співвідношеннях, які однозначно визначають член послідовності $a_{n},$ якщо усі члени $a_{m}$ за $m<n$ задані і задовільняють заданим співвідношенням, то існує лише одна така послідовність $(a_{n}),$ члени якої задовільняють рекурентним співвідношенням.

Зокрема, на кожному відрізку $[1,n]$ існує лише одна така послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Розмірковуймо індуктивно. Для відрізка $[1,1]$ це твердження є вірним, оскільки послідовність у цьому випадку складається лише з одного члена $a_{1},$ який не має передуючих членів і тому заданий безпосередньо. Нехай твердження є вірним для усіх відрізків $[1,m]$ за $m<n,$ тоді це твердження буде вірним й для відрізку $[1,n],$ оскільки послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}$ одерджується із послідовності $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}$ шляхом приєднання до неї останнього члена $a_{n},$ який за умовою однозначно визначаєть через передуючі члена за допомогою даних рекурентних співвідношень. Таким чином, для відрізка $[1,n]$ існує лише одна послідовність $a_{1},a_{2},...,a_{n}.$ Ця послідовність визначена на відрізку $[1,n]$ і таким чином визначена на кожному відрізку $[1,m],$ де $m<n$; усі її члени також задовільняють заданим рекурентним співвідношенням і тому співпадають із відповідними членами послідовності, яка задана на відрізку $[1,m].$

Нехай тепер число $r$ виражається нескінченним дробом $r=i_{1}i_{2}...i_{n}...\,.$ У будь-якому околі цього числа міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}).$ Оберімо наскільки завгодно малий окіл точки $r,$ тобто наскільки завгодно малий проміжок, який містить всередині точку $r.$ Позначмо довжину цього проміжку через $2\varepsilon ,$ одержимо $\varepsilon$-окіл точки $r$:

$|x-r|<\varepsilon ,$ або $r-\varepsilon <x<r+\varepsilon .$

Десяткові дроби рангу $n$ утворюють арифметичну прогресію із різницею $10^{-n}.$ Якщо $\varepsilon >10^{-n}\Leftrightarrow n>\lg {\frac {1}{\varepsilon }},$ то $\varepsilon$-окіл точки $r$ містить два найближчих до $r$ дроби $i_{1}i_{2}i_{3}....i_{n}$ та $i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}+10^{-n},$ а відповідно, містить й утворений ними проміжок $(i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n},\,\,i_{1}i_{2}i_{3}...i_{n}+10^{-n}).$ Оскільки у цьому проміжку міститься нескінченна множина членів послідовності $(a_{n}),$ то це саме справджується й відносно розглядуваного $\varepsilon$-околу точки $r.$

Будь-яка точка, що має властивість, за якою у будь-якому її околі міститься нескінченна множина точок послідовності $(a_{n}),$ називається граничною точкою цієї послідовності. Наприклад, граничною точкою послідовності $({\frac {1}{n}})\equiv 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ є точка $0.$ Зобразимо цю послідовність $(a_{n}).$

Послідовність $(\cos n\pi )\equiv ((-1)^{n})\equiv -1,\,1,\,-1,\,1,\,-1,...$ має дві граничні точки: $1$ та $-1.$

Ще у античні часи математик Евдокс Кнідський (408 р. до н.е.) розробив відомий нині метод вичерпування (таку назву метод одержав у 17 ст.), який застосовувався стародавніми людьми для доведення теорем, пов'язаних із обчисленням площ, об'ємів та інших величин. Метод вичерпування вважається першим варіантом теорії границь, і його суть полягає у наступному. Уявімо собі, що необхідно обчислити площу декотрої фігури, тобто віднайти величину $a.$ До цієї фігури вписувалися інші фігури із заздалегідь відомими площами, внаслідок чого одержували скінченну монотонну послідовність $a_{1}<a_{2}<...<a_{n},$ причому

$a-a_{1}<{\frac {a}{2}},\quad a-a_{2}<{\frac {a-a_{1}}{2}}<{\frac {a}{4}},\quad ...,\quad a-a_{n}<{\frac {a}{2^{n}}}.$

В основі методу знаходилася наступна теорема. Нехай дані величини $a$ та $b,$ для яких $a>b.$ Якщо відняти від величини $a$ більше її половини, а з остачі більше її половини й продовжити так необмежено, то після декотрого скінченного числа застосування операцій одержиться лишок $a_{n}<{\frac {a}{2^{n}}}\leq b.$ Це значить, що границя $a_{n}$ дорівнює $0.$

За великого значення $n$ різниця $a-a_{n}$ може бути менше будь-якої величини $b.$ Відшукувалася границя послідовності $a_{n},$ тобто таке число $b,$ за якого різниця $b-a_{n}$ ставала наскільки завгодно малою. Завершувалося віднаходження величини $a$ доказом того, що $a=b.$ На мові термінології сучасного елементарного аналізу можна сказати, що стародавні люди доводили, що з рівностей $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ та $\lim _{n\to \infty }a_{n}=b$ слідувало $a=b.$

Якщо послідовність $(x_{n})$ має одну граничну точку $x,$ a $(y_{n})$ - єдину точку $y,$ причому $x\neq y,$ то послідовність $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3},...$ має дві граничні точки: $x$ та $y.$ У випадку $x=y,$ то ця послідовність має лише одну граничну точку, саме $x=y.$ Наприклад, послідовність ${\frac {1}{1}},\,{\frac {2}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{2}},\,{\frac {1}{3}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {1}{4}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {1}{5}},\,{\frac {2}{5}},...\,.$

Точка $a$ є граничною точкою даної множини $A,$ якщо у будь-якому її наскільки завгодно малому околі $U\subset A$ міститься хоча б одна точка множини $A,$ відмінна від точки $a.$ Справді, якщо у будь-якому околі точки $a$ міститься хоча б одна точка даної множини $A,$ то вірним є й те, що у будь-якому околі їх міститься скільки завгодно. Наприклад, нехай $(a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon )$ є $\varepsilon$-околом точки $a.$ Оберімо у цьому околі точку $a_{1}\in A,$ підпорядковуючи $\varepsilon _{1}$ умові $\varepsilon _{1}<|a_{1}-a|.$ Оберімо у цьому $\varepsilon _{1}$-околі $(a-\varepsilon _{1},\,a+\varepsilon _{1})$ нову точку $a_{2}\in A,$ відмінну від точки $a$; потім візмімо $\varepsilon _{2}$-окіл цієї ж точки $a,$ підпорядковуючи його умові $\varepsilon _{2}<|a_{2}-a|.$ У одержаному околі $(a-\varepsilon _{2},\,a+\varepsilon _{2})$ оберімо третю точку $a_{3}\in A,$ відмінну від $a$ тощо.

За теоремою Больцано-Вейерштрасса, будь-яка обмежена нескінченна послідовність $(a_{n})$ має принаймні одну граничну точку.

Якщо обмежена послідовність має лише одну граничну точку, то ця точка називається границею послідовності. Якщо ж обмежена послідовність має більше однієї граничної точки, то говорять, що послідовність не має границі.

Якщо точка $a$ є не лише граничною точкою, але й границею обмеженої послідовності $(a_{n}),$ то вірним є не лише те, що у будь-якому околі точки $a$ лежить нескінченна множина точок послідовності, але й те, що у будь-якому околі точки $a$ лежать майже усі точки послідовності. Розгляньмо $\varepsilon$-окіл точки $a.$ Вважаючи, що усі точки послідовності $(a_{n})$ зосереджені між $m$ та $k,$ можна зробити припущеня, що $\varepsilon <k-a$ та $\varepsilon <a-m,$ відтак проміжок $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ]$ лежить всередині проміжку $(m,k).$ Міркуймо тепер протилежно: усі точки послідовності $(a_{n})$ зосереджені у проміжку $[m,k],$ і якщо було б невірним, що "майже усі" вони лежать у проміжку $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ],$ то це означало б, що нескінченна їх множина лежить у парі проміжків $[m,\,a-\varepsilon ]$ та $[a+\varepsilon ,\,k],$ та, відповідно, лежить хоча б у одному з них, наприклад, у проміжку $[m,\,a-\varepsilon ].$ Однак за теоремою Больцано-Вейерштрасса звідси слідувало б, що послідовність $(a_{n})$ має граничну точку у проміжку $(m,\,a-\varepsilon ),$ а це неможливо, оскільки за умовою $a$ є єдиною граничною точкою послідовності. Таким чином, приходимо до висновку, що "майже усі" точки послідовності лежать у проміжку $[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon ].$

Навпаки, якщо у будь-якому околі точки $A$ лежать "майже усі" точки нескінченної послідовності $(a_{n}),$ то з цього слідує, що $a$ є єдиною граничною точкою цієї послідовності. Розмірковуймо протилежно. Нехай, окрім точки $a,$ є ще одна гранична точка $b.$ Припустімо, що $b>a.$ Оскільки $b$ є граничною точкою, то у будь-якому її $\varepsilon$-околі міститься нескінченна множина точок послідовності. У $\varepsilon$-околі точки $a$ містяться "майже усі" точки послідовності. Обравши значення $\varepsilon$ таким, яке задовільняло б нерівності $\varepsilon <{\frac {b-a}{2}},$ одержимо, що $a+\varepsilon <b-\varepsilon .$ Два $\varepsilon$-околи не перетинаються, відтак ми одержали суперечливість.

Коли говорять, що "майже усі" точки послідовності зосереджені у декотрому $\varepsilon ,$ то мають на увазі, що лише скінченне їх число знаходиться поза цим проміжком. Кожний з цих членів послідовності має власний індекс, і якщо множина членів є скінченною, то й серед індексів є найбільший індекс. Позначмо цей найбільший індекс символом $N.$ Він залежить від обраного околу точки $a,$ тобто залежить від числа $\varepsilon$; щоб підкреслити цю обставину, іноді записують $N_{\varepsilon }.$ Таким чином, серед членів послідовності $(a_{n}),$ у яких індекс $n\leq N,$ одні з них, можливо, співпадають у $\varepsilon$-околі точки $a,$ а інші опиняються поза цим околом; однак якщо $n>N,$ то можна впевнено стверджувати, що відповідний член $a_{n}$ знаходиться у $\varepsilon$-околі.

Таким чином, число $a$ називається границею числової послідовності $(a_{n})=a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ якщо, яким б не було малим заздалегідь задане число $\varepsilon ,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{\varepsilon },$ що нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $|a_{n}-a|<\varepsilon .$ Іншими словами, число $a$ буде границею послідовності $(a_{n}),$ якщо відхилення члена послідовності $a_{n}$ від $a$ робиться наскільки завгодно малим за умови, що індекс $n$ члена є достатньо великим. Якщо задати який-небудь окіл $\varepsilon$ точки $a,$ то усі члени послідовності $a_{n},$ починаючи з індексу $N+1,$ задовільняють нерівності $a_{n}<a+\varepsilon .$ Серед скінченного числа $a_{1},a_{2},...,a_{N}$ можна обрати найбільший; зокрема, позначаючи через $k$ довільне число, для якого $a_{N}<k$ та $a+\varepsilon <k,$ одержимо за усіх значень $n$ нерівність $a_{n}<k,$ звідки слідує обмеженість згори. Таким самим чином можна встановити обмеженість знизу.

Наприклад, для послідовності $a_{n}={\frac {1}{n}}\equiv 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$ нерівність $|a_{n}|<\varepsilon$ справджується за $n>{\frac {1}{\varepsilon }},$ тому в якості $N$ можна взяти довільне число, яке є не меншим від ${\frac {1}{\varepsilon }}.$

Якщо послідовність $(a_{n})$ не має кінцевих граничних точок, то $\lim |a_{n}|=\infty .$

Арифметична прогресія ($a+(n-1)d$) має границю $\infty$ чи $-\infty ,$ в залежності від того, буде $d>0$ чи $d<0.$

Геометрична прогресія $(q^{n})$ має границю $\infty$ за $q>1,$ і не має границі за $1<-1$ (у цьому випадку, звичайно, $\lim |q|^{n}=\infty$). У випадку, коли $|q|<1,$ то за необмеженого числа членів (тобто за прямування $n$ до нескінченності, тобто $n\to \infty$) сума прямує до певної границі $S={\frac {a}{1-q}},$ що записується наступним чином: $a+aq+aq^{2}+...+aq^{n}+...={\frac {a}{1-q}}.$

Послідовність $(x_{n})$ дійсних чисел називається збіжною, якщо існує дійсне число $y$ та для довільного $\varepsilon >0$ існує натуральне число $m$ таке, що для усіх $n>m$ справджується рівність $|x_{n}-y|<\varepsilon .$ При цьому число $y$ називається границею послідовності $(x_{n})$ й пишуть $\lim _{n\to \infty }x_{n}=y$ чи $x_{n}\to y$ за $n\to \infty .$ Це можна висловити за допомогою наступної пропозиції:

$\exists a\in \mathbb {R} \land \forall \varepsilon >0\,\exists m\in \mathbb {N} \,:\,\forall n>m\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon .$

Якщо послідовності $(x_{n})$ та $(y_{n})$ дійсних чисел збігаються та $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ й $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b,$ то

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b,\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}y_{n}=ab,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$

для усіх $n\in \mathbb {N} ,$ за $y_{n}\neq 0$ та $b\neq 0.$

Якщо послідовність $(a_{n})$ є обмеженою, то можна вказати таку зростаючу послідовність цілих додатних чисел $(m_{n}),$ що послідовність $(a_{m_{n}})$ буде мати границю. За теоремою Больцано-Вейерштрасса послідовність $(a_{n})$ має хоча б одну граничну точку, наприклад $a.$ За визначенням граничної точки, у будь-якому $\varepsilon$-околі точки $a$ міститься точка послідовності $(a_{n}).$ Нехай $(\varepsilon _{n})$ є послідовністю додатних спадних чисел, яка збігається до нуля. Для кожного $\varepsilon _{n},$ де $n=1,2,3,...,$ можна підібрати член даної послідовності $a_{m_{n}},$ який міститься у $\varepsilon _{n}$-околі точки $a,$ тобто $|a_{m_{n}}-a|<\varepsilon _{n}.$ Підбираючи члени послідовності $(a_{m_{n}})$ один за другим, можна зробити так, що кожний наступний індекс $m_{n+1}$ буде більшим від попереднього $m_{n}.$ Таким чином, $a_{m_{n}}\to a.$ Відтак з будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну послідовність.

Перехід до границі можна розглядати як деяку операцію. Як і у випадку арифметичних операцій, за переходу до границі по даним числам $a_{1},a_{2},...,a_{n},...$ складається нове число $a=\lim a_{n}.$ Як і у арифметичних операціях, за переходу до границі з даних чисел $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ однозначно складається число $a.$ Для накладання необхідно та достатньо, щоб кожний образ мав хоча б один прообраз. Однак операція переходу до границі не завжди можлива, оскільки не усі послідовності можуть мати границю. Крім того, даних чисел не два (як у випадку бінарних операцій додавання чи множення з двома аргументами), а нескінченна множина; збіжна послідовність залишається збіжною, а розбіжна - розбіжною, в результаті відкидання, добавляння чи заміни скінченного числа членів послідовності. Справді, якщо точка $a$ є єдиною граничною точкою послідовності $(a_{n}),$ то вона буде єдиною й для видозміненої вказаним способом послідовності.

Відкидати можна й нескінченну множину членів послідовності. Нехай $(m_{n})\equiv m_{1},m_{2},...,m_{n},...$ - декотра зростаюча послідовність цілих додатних чисел. Якщо границя послідовності $(a_{n})$ існує, тобто $a_{n}\to a,$ то існує підпослідовність $(a_{m_{n}})$ із границею $a_{m_{n}}\to a,$ рівною границі $a_{n}\to a.$ Справді, оскільки послідовність $(a_{n})$ має границю $n$ (і є, відповідно, обмеженою), то це означає, що $a$ є єдиною граничною точкою цієї послідовності. Оскільки усі члени послідовності $(a_{m_{n}})$ містяться у послідовності $(a_{n}),$ то й послідовність $(a_{m_{n}})$ також обмежена і не може мати відмінних від $a$ граничних точок. За теоремою Больцано-Вейерштрасса послідовність $(a_{m_{n}})$ повинна мати хоча б одну граничну точку. Відтак $a$ є єдиною граничною точкою підпослідовності $(a_{m_{n}}),$ тобто границю цієї послідовності.

Послідовність $(a_{n})$ має границю $\infty$ ($a_{n}$ прямує до нескінченності), якщо, яким б не було заздалегідь відоме число $k,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{k},$ що нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $a_{n}>k.$ Інакше кажучи, послідовність має границю $\infty ,$ якщо її член $a_{n}$ стає наскільки завгодно великим в залежності від достатньо великого індексу. При цьому пишуть $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ чи $a_{n}\to \infty .$

Аналогічно, послідовність $(a_{n})$ має границю $-\infty ,$ якщо, яким б не було заздалегідь відоме число $k,$ можна вказати таке число $N\equiv N_{k},$ за якого нерівність $n>N$ тягне за собою нерівність $a_{n}<-k.$ При цьому пишуть $\lim _{n\to -\infty }a_{n}$ чи $a_{n}\to -\infty .$

Наприклад, послідовність натуральних чисел $(n)$ має єдину граничну точку, тобто $\infty .$ Так само послідовність $(n^{m})$ за $m>0$ має єдину граничну точку $\infty .$

Послідовність $((-1)^{n+1}n)\equiv 1,-2,3,-4,5,-6,...$ має дві граничні точки: $\infty$ та $-\infty ,$ відтак не має границі.

У випадку нескінченних границь наступні теореми

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=a+b,\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}y_{n}=ab,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}$

справджуються частково. При цьому справедливими є наступні теореми:

• $a_{n}\to \infty \land b_{n}>m\Rightarrow a_{n}+b_{n}\to \infty$;
• $a_{n}\to -\infty \land b_{n}<k\Rightarrow a_{n}+b_{n}\to -\infty$;
• $a_{n}\to \infty \land b_{n}>m>0\Rightarrow a_{n}b_{n}\to \infty$;
• $a_{n}\to 0\land |b_{n}|<k\Rightarrow a_{n}b_{n}\to 0$;
• $a_{n}\to \infty \land 0<b_{n}<k\Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \infty$;
• $a_{n}\to 0\land |b_{n}|>m>0\Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 0$;
• $|a_{n}|<k\land |b_{n}|\to \infty \Rightarrow {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 0$;
• $|a_n|>$