Основні числові системи/Цілі числа

У загальному випадку операція віднімання у множині натуральних чисел не виконується, оскільки не кожна пара $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ натуральних чисел $(a,b)$ має образ у $\mathbb {N}$ за відображення $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} .$ Іншими словами, якщо $a<b,$ то значення виразу $a-b$ у загальному випадку не належить множині натуральних чисел, тобто $(a,b)\notin \mathbb {N} ^{3}.$ Це стало причиною для збільшення множини натуральних чисел до множини цілих чисел.

При розширенні натуральних чисел натуральних чисел до множини цілих $\mathbb {Z}$ чисел необхідно щоб система цілих чисел $\mathbb {Z}$ відповідала певним властивостям по відношенню до системи $\mathbb {N} ,$ зокрема:

система $\mathbb {N}$ повинна бути підмножиною $\mathbb {Z} ,\,$ тобто $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$ ;
на системі $\mathbb {Z}$ повинні бути визначені операції додавання та множення, причому таким чином, щоб сума й добуток двох натуральних чисел $a$ та $b$ як елементів системи $\mathbb {Z}$ співпадали відповідно із сумою $a+b$ та добутком $a\cdot b$ чисел у системі $\mathbb {N}$ ;
операції додавання та множення, визначені на $\mathbb {Z} ,$ повинні мати ті самі властивості (розподільну, сполучну й переставну), що й операції додавання й множення натуральних чисел;
у системі $\mathbb {Z}$ повинна виконуватися операція віднімання (тобто ми не накладаємо на вираз $a-b$ умову $\forall a>b,$ що читається "для усіх $a$ більше $b$ ").

Цілі числа - це натуральні числа $n,$ протилежні до них $-n$ та число $0.$ Вважається, що число $0$ є протилежним самому собі. Їх можна зобразити на числовій прямій.

Вираз $-a$ означає, що записане число протилежне числу $a.$ Таким чином, приписавши знак $-$ до числа $23,$ отримаємо протилежне до нього, тобто $-23.$ Повторне застосування операції обернення, наприклад $-(-12),$ в результаті дає число, протилежне до оберненого числа, тобто $-(-12)=12.$ Взагалі, $-(-a)=a.$ Варто зауважити, що використання дужок є обов'язковим. Запис виду $--a$ не вживають. Зрозуміло, що $-(-(-a))=-a,\,\,-(-(-(-a)))=a$ тощо. У виразах, наприклад, $25-(3\cdot (-6))$ , пишуть $25-(-18)=25+18=43.$

У виразах, де застосовується множення чи ділення, наприклад $4\cdot (-13)$ чи $12:(-6),$ від'ємне число записується у дужках. При множенні додатного цілого числа $a$ на від'ємне ціле число $(-b),$ добуток буде від'ємним цілим числом; якщо від'ємне $(-a)$ число множиться на від'ємне число $(-b)$ , то добуток буде додатним числом: $(-a)\cdot (-b)=-(-(a\cdot b))=a\cdot b.$ . Добуток трьох від'ємних чисел - від'ємне число, $(-a)\cdot (-b)\cdot (-c)=-(-(-(a\cdot b\cdot c)))$ (тут ми винесли мінус за дужки) тощо.

Операція ділення у загальному випадку не виконується у системі цілих чисел, оскільки, наприклад, значення виразу $5:2$ не належить множині $\mathbb {Z} .$ Тобто число $5$ не ділиться націло на число $2.$ Так само число $1\,071$ не ділиться націло на число $2$ тощо. Таким чином, вважаючи змінну $m$ цілим числом, $m\in \mathbb {Z} ,$ ділення довільного цілого числа $x\in \mathbb {Z}$ на $m,$ тобто $x:m$ або ${\frac {x}{m}},$ вважається не визначеним в загальному випадку (або частково (тобто не усюди на $\mathbb {Z}$ ) визначеним у сенсі часткового відображення $f:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ ).

Абсолютна величина

Абсолютною величиною цілого числа $a$ називається невід'ємне з чисел $a$ та $-a$ і позначається $|a|.$ Наприклад, абсолютною величиною числа $-13$ є число $|-13|=-(-13)=13.$ Таким чином, модуль додатного числа є число додатне, $|a|=a,$ а модуль від'ємного числа - число, протилежне йому, $|-a|=-(-a)=a.$ . Зрозуміло, що модуль набуває лише невід'ємних значень. Вважається, що модуль числа $0$ дорівнює нулю, тобто $|0|=0.$

Геометричний зміст поняття абсолютної величини полягає у тому, що абсолютна величина означає відстань від початку відліку до відзначеної точки, яка позначає відповідне число на координатній прямій. Тобто на скільки одиниць даної числової прямої віддалена дана точка від початку відліку $O.$ Позначмо на числовій прямій точки $L=-5$ та $C=3.$ Точка $L$ віддалена на 5 одиниць від початку відліку $O,$ тобто $|-5|=-(-5)=5.$ Точка $C$ знаходиться на відстані 3 одиниці від точки початку відліку $O,$ тобто $|3|=3.$

Цілі вирази

Розгляньмо дві групи виразів: першу

$a\cdot b,\quad \quad 7-x,\quad \quad {\frac {1}{3}}\cdot b,\quad \quad a-{\frac {b}{2}},\quad \quad {\frac {a+b}{12}},$

та другу

${\frac {12}{a}},\quad \quad {\frac {a}{b}},\quad \quad 12:c,\quad \quad {\frac {6+a}{2\cdot b}}\cdot (-x).$

Перша група виразів не містить дії ділення на вираз із змінними. Такі вирази називаються цілими. Вирази ж другої групи містять дію ділення на вираз зі змінними і називаються дробовими виразами. У виразах дію множення часто не вживають, і замість $5\cdot k-2$ пишуть просто $5k-2.$ Таким самим чином перед дужками знак дії множення не вживається, наприклад, $a(b+c).$ У подальшому знак дії множення перестане вживатися у подібних випадках.

Як згадувалося на початку, вирази зі змінними використовуються для запису формул. Наприклад, формулами можна задати цілі числа, що діляться на задане натуральне число $n$ і дають одну і ту саму остачу. Якщо кожне з чисел $a$ та $b$ ділиться націло на число $c,$ то й сума $a+b$ також ділиться націло на $c.$ Якщо ж число $a$ ділиться націло на $c,$ а число $b$ не ділиться на $c,$ то й сума $a+b$ не ділиться на $c.$ Разом із діленням націло розглядають ділення із остачею. Наприклад, $21:9=2$ із остачею 3. Таким чином, $(a-r):b=k,$ де $r$ - остача, а $k$ - неповна частка від ділення. У нашому прикладі, $(21-{\overset {r}{3}}):9={\overset {k}{2}}.$ Таким чином, остача $r=3$ , неповна частка $k=2.$ Взагалі, щоб розділити ціле число $m$ на натуральне число $n$ із остачею, потрібно знайти такі цілі числа $r$ та $k,$ щоб справджувалася рівність $m=n\cdot k+r,$ де $0\leq r\leq n-1.$ Остач від ділення цілих чисел на натуральне число $n$ може бути $n:\,0,1,2,...,n-2,n-1.$

Наприклад, знайдемо остачу від ділення числа $-17$ на $3.$ Для цього запишемо число $-17$ у вигляді $-17=3k+r,$ де $k$ та $r$ - цілі числа і $0\leq r\leq 2.$ Щоб $r$ знаходилося у межах від $0$ до $2,$ потрібно взяти $k=-6.$ Таким чином, за $r=1$ справджується рівність $17=3\cdot (-6)+1.$

Нехай $a$ та $b$ - відрізки і відрізок $a$ є довшим за відрізок $b,$ тобто $a>b$ (або $b<a$ ). Вкладімо відрізок $b$ до відрізку $a$ стільки разів, скільки можливо; отримаємо остачу $r_{1}.$ На наступному малюнку видно, що відрізок довжиною $a$ може вмістити $5$ відрізків довжиною $b;$ таким чином, можна записати $a=5b+r_{1}.$

Далі, вкладімо відрізок остачі $r_{1}$ до відрізку $b$ стільки разів, скільки можливо (по аналогії із вкладанням $b$ до $a$ ); зокрема, $b=2r_{1}+r_{2}.$ Утвориться остача $r_{2}.$

Аналогічним чином вкладімо послідовно відрізки $r_{2}$ до $r_{1},$ відрізки $r_{3}$ до $r_{2}$ тощо. Якщо, відкладаючи черговий відрізок $r_{n}$ до $r_{n-1},$ ми не отримаємо остачі (точніше, отримаємо нульову остачу $r_{n+1}=0$ ), то відрізок довжини $r_{n}$ є найбільшою спільною мірою відрізків довжин $a$ та $b.$

Якщо $a$ та $b$ є цілими, то усі остачі $r_{1},r_{2},...$ також цілі невід'ємні. В силу лінійного порядку $b>r_{1}>r_{2}>...$ (або, що те саме, $b\supset r_{1}\supset r_{2}\supset ...$ ) процес рано чи пізно закінчиться. Останнє ненульове число $r_{n}$ є найбільшим спільним дільником чисел $a$ та $b,$ тобто $r_{n}={\text{НСД}}(a,b).$

Метод порівняння

Два числа $a$ та $b$ при діленні на натуральне число $n$ дають один і той самий залишок $r,$ у питаннях подільності по відношенню до $n$ мають ряд однакових властивостей. Зокрема, будь-який спільний дільник чисел $a$ та $n$ буде одночасно й спільним дільником для $b$ та $n.$ Зокрема, найбільший спільний дільник для пари $(a,n)$ чисел $a$ та $n$ співпадає із найбільшим спільним дільником $(b,n)$ чисел $b$ та $n.$ Справді, якщо $a=21$ та $b=33$ дають при діленні на $n=6$ одну і ту саму остачу $r=3,$ то

$a=3\cdot n+3,\quad \quad b=5\cdot n+3,$

тому різниця $a-b=(3-5)\cdot n=-12.$ ділиться на $n.$ Число $3$ є неповною часткою при діленні $21$ на $6,$ а число $5$ є неповною часткою при діленні $33$ на $6.$ Відтак,

$a=(3-5)\cdot n+b,\quad \quad b=a-(3-5)\cdot n.$

Числа $a$ та $b$ прийнято називати порівнюваними за модулем $n,$ якщо обидва числа $a$ та $b$ дають однакову остачу при діленні на $n.$ Це позначається наступним чином: $a\equiv b(\mod n).$ При визначенні порівнюваності двох чисел $a$ та $b$ вимога рівності остач від ділення на спільний дільник $n$ може бути замінена рівносильною, але більш зручною для перевірки вимогою щоб різниця двох даних чисел $a-b$ ділилася на модуль $n.$ У нашому прикладі $(21-33):6=-2.$

Цілі числа при діленні на $3$ можуть давати в остачі лише $0,\,\,1$ або $2.$ Відповідно, цілі числа розшаровуються на 3 класи по модулю $3$ :

Цілі числа	Остача при діленні на 3	Вираз
$...,-9,-6,-3,0,3,6,9,...$	0	$3k$
$...,-8,-5,-2,1,4,7,10,...$	1	$3k+1$
$...,-7-4,-1,2,5,8,11,...$	2	$3k+2$

Про числа $m=3\cdot k$ говорять, що вони націло діляться на число $3.$ Взагалі, число класів по модулю $n$ дорівнює $n,$ тобто $0,1,2,3,...,n-1.$ Клас, що характеризується даною остачею $0\leq r\leq n-1,$ утворюють числа виду $n\cdot k+r,$ де $k$ - будь-яке ціле число.

Тотожні вирази

Вирази називаються тотожними, якщо за будь-яких значень змінних, які до них входять, значення цих виразів дорівнюють одне одному. Наприклад, нехай маємо вирази $5x-5y$ та $5(x-y).$ Якщо підставити значення $a=4$ та $b=2,$ то отримаємо рівності

$5x-5y=5\cdot 4-5\cdot 2=20-10=10;\quad \quad 5(x-y)=5x-5y=5\cdot 4-5\cdot 2=10.$

У цьому випадку кажуть, що два вирази $5x-5y$ та $5(x-y)$ є тотожно рівними. Якщо два тотожно рівні вирази $5x-5y$ та $5(x-y)$ сполучити відношенням рівності $=,$ то отримаємо рівність $5x-5y=5(x-y),$ яка справджується за будь-яких значень $x$ та $y.$ Така рівність виразів називається тотожністю.

Прикладами тотожностей, перш за все, є закони, які виражають властивості операцій додавання та множення чисел:

переставна властивість: $a+b=b+a;\quad \quad ab=ba;$
сполучна властивість: $a+(b+c)=(a+b)+c;\quad \quad (ab)c=a(bc);$
розподільна властивість: $a(b+c)=ab+ac.$

Правила розкриття дужок також виражаються тотожностями:

$a+(b+c)=a+b+c,\quad \quad a-(b+c)=a-b-c,\quad \quad a-(b-c)=a-b+c.$

Зрозуміло при цьому, що якщо перед дужками стоїть знак $-,$ то дужки розкриваються зі зміною знаків доданків на протилежні. Наприклад, $-(a-b)=-a+b=b-a$ або $-(a+b)=-a-b.$ Тотожностями є й наступні рівності:

$a+(-b)=a-b,\quad \quad a\cdot (-b)=-ab,\quad \quad (-a)\cdot (-b)=ab,\quad \quad x+0=x,\quad \quad a+(-a)=0,$

$a\cdot 0=0,\quad \quad a\cdot 1=a.$

Один вираз можна замінити іншим, більш коротким, якщо звести подібні доданки. Наприклад, у виразі $4x-3+5x+12$ подібні доданки - це $4x$ та $5x,$ що утворюють першу групу подібних доданків; другу групу подібних доданків утворюють числа $-3$ та $12.$ Вести подібні доданки - значить скоротити вираз, здійснивши операції над усіма групами доданків, тобто $4x+5x=9x$ та $-3+12=9.$ В результаті ми отримуємо короткий вираз $9x+9,$ який є тотожно рівним виразу $4x-3+5x+12.$ Така процедура називається спрощенням виразу. Ще раз, спростимо вираз $7x+4+2(-4x+1)=7x-8x+4+2=6-x.$

Тотожні перетворення використовуються для доведення тотожностей. Щоб довести тотожність, можна скористатися одним із наступних способів:

ліву частину відносно знаку $=$ шляхом тотожних перетворень звести до правої;
праву частину відносно знаку $=$ звести до лівої;
обидві частини (ліву та праву) звести до одного і того ж виразу;
відняти від лівої частини праву і запевнитися, що різниця дорівнює нулю.

У рівності ліва частина позначена червоним кольором, а права - синім: $\color {red}{a-3-(4a+7)}\color {black}{=}\color {blue}{-3a-10}.$ Перетворимо ліву частину цієї рівності: $\color {red}{a-3-(4a+7)}\color {black}{=a-3-4a-7=a-4a-3-7=}\color {blue}{-3a-10}.$ Таким чином, права і ліва частини співпадають і є тотожностями. При перенесенні виразів та їх частин з однієї частини рівності до іншої, вони змінюють свої знаки. У рівності $-3a-10=-3a-10$ перенесемо вираз праворуч відносно рівності у ліву частину: $-3a-10-(-3a-10)=-3a+3a-10+10=0.$ Таким чином, тотожність доведена.

Степінь числа з натуральним показником

Степінь числа $a$ з натуральним показником $n$ - це добуток, що складається з $n$ множників $a,$ тобто $a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{n\,{\text{множників}}}.$ Читається: степінь $n$ з основою $a.$ Наприклад, $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16.$ Тут показником степені є число $4,$ а основою число $2.$ У випадку, якщо основа - від'ємне число, наприклад, $(-3)^{3},$ то необхідно враховувати операцію обернення $-$ , тобто $(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=-(-(-(3\cdot 3\cdot 3)))=-27.$ Степінь числа $a$ із показником степені $1$ дорівнює $a.$ Наприклад, $(-13)^{1}=-13.$ Якщо вважати $n\in \mathbb {N} \cup \{0\},$ то існує правило, що якщо показник степеня із основою $n\neq 0$ дорівнює нулю, тобто $n^{0},$ то $n^{0}=1.$

Для будь-якого цілого $a$ та натуральних чисел $n$ та $k$ справджується рівність $a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k}.$ Зокрема,

$\underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{n\,{\text{разів}}}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{k\,{\text{разів}}}=\underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{n+k\,{\text{разів}}}.$

Така властивість степеня називається основною і формулюється наступним чином: щоб помножити степені з однаковими основами, необхідно основу залишити, а показники степенів додати. Наприклад,

$3^{2}\cdot 3^{1}=3^{2+1}=3^{3}=27,\quad \quad 2^{2}\cdot 2^{3}=2^{2+3}=2^{5}=32,\quad b^{3}\cdot b^{25}=b^{3+25}=b^{28},\quad \quad 2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 2^{4}=2^{2+3+4}=2^{9}=512.$

Для будь-якого цілого $a\neq 0$ і натуральних $n$ та $k,$ за умови $n>k,$ справедлива рівність $a^{n}:a^{k}=a^{n-k}.$ Зокрема, $a^{n-k}\cdot a^{k}=a^{n-k+k}=a^{n}.$ Таким чином, щоб розділити степені з однаковими основами, необхідно основу залишити, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника. Наприклад,

$5^{4}:5^{2}=5^{2}=25,\quad \quad s^{32}:s^{14}=s^{32-14}=s^{18}.$

Щоб піднести степінь до степеня, необхідно основу залишити, а показники степенів перемножити: $(a^{n})^{k}=a^{n\cdot k}.$ Зокрема, наприклад,

$(x^{3})^{8}=x^{3\cdot 8}=x^{24},\quad \quad (2^{2})^{3}=2^{2\cdot 3}=2^{6}=64,\quad \quad (b^{3n+1})^{6}=b^{6(3n+1)}=b^{18n+6}.$

Таким чином, $(a^{n})^{k}=\underbrace {a^{n}\cdot a^{n}\cdot \cdot \cdot a^{n}} _{k\,{\text{разів}}}=a^{\overbrace {n+n+...+n} ^{k\,{\text{разів}}}}=a^{nk}.$

Операція піднесення до степеня є дією третього ступеня і має більший пріорітет, ніж множення та ділення. Таким чином, додавання та віднімання - дії першого ступеня, множення та ділення - дії другого ступеня, а піднесення до степеня - дія третього ступеня.

Для будь-яких цілих чисел $a$ та $b$ та натурального числа $n$ справедлива рівність: $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$ Таким чином, $(ab)^{n}=\underbrace {ab\cdot ab\cdot \cdot \cdot ab} _{n\,{\text{разів}}}=\underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{n\,{\text{разів}}}\,\cdot \,\underbrace {b\cdot b\cdot \cdot \cdot b} _{n\,{\text{разів}}}.$ Щоб піднести до степеня добуток, необхідно піднести до цього степеня кожний множник та перемножити їх. Зокрема, наприклад,

$(3xy)^{4}=3^{4}x^{4}y^{4}=81x^{4}y^{4},\quad \quad (i^{2}j^{0}kl)^{17}=i^{\,2\cdot 17}j^{\,0\cdot 17}k^{17}l^{17}=i^{34}1k^{17}l^{17}=i^{34}k^{17}l^{17}.$

Мономи (одночлени)

Мономом називається добуток чисел, змінних та їхніх степенів. Окреме число або змінна також є мономом. Наприклад, розгляньмо дві групи виразів: першу

$a^{2}bc,\quad \quad 21,\quad \quad 4b^{2},\quad \quad -kl2m,\quad \quad t$

та другу

$15+d,\quad \quad {\frac {b}{6}},\quad \quad a:4,\quad \quad 2ab-xy.$

Вирази першої групи є мономами, а вирази другої - ні, оскільки до виразів другої групи входить не добуток, а частка чи сума.

У мономі $7axby$ числовий множник $7,$ записаний першим, називається коефіцієнтом монома. Коефіцієнт, записаний першим, разом із степенями змінних, називається мономом стандартного вигляду. Наприклад, серед мономів

$(3a)^{3}25abc,\quad \quad 17abcd,\quad \quad 5m^{2}n\cdot (-3)m^{4}$

мономом стандартного вигляду є моном $17abcd.$ Тобто мономом стандартного вигляду називається такий моном, який містить лише один числовий множник, розміщений на першому місці ліворуч, і степені різних змінних. Щоб подати моном у стандартному вигляді, необхідно знайти його коефіцієнт, який дорівнює добутку усіх числових множників, знайти добутки всіх степенів однакових змінних й записати результат у вигляді добутку, перший множник якого - отриманий коефіцієнт. Наприклад, подамо моном $(3a)^{3}25abc$ у стандартному вигляді. Для початку зведімо у степінь $(3a)^{3}=27a^{3}.$ Згрупуймо подібні множники таким чином, щоб числовий множник знаходився ліворуч: $27\cdot 25\cdot a^{3}\cdot a\cdot b\cdot c=675a^{4}bc.$ Таким чином, моном $675a^{4}bc$ є мономом стандартного вигляду. Зробімо те саме із мономом $5m^{2}n\cdot (-3)m^{4}.$ Отримаємо $5\cdot (-3)\cdot m^{2}\cdot m^{4}\cdot n=-15m^{6}n.$ Моном $-15m^{6}n$ є мономом стандартного вигляду.

Степенем монома є сума показників степенів змінних, що входять до його складу. Якщо мономом є число, відмінне від нуля, то степінь монома вважають рівним нулю. Наприклад, у мономі $16a^{2}bc^{3}$ є три змінні - $a,b$ та $c.$ Показник степеня $a$ дорівнює $2,$ показник степеня $b$ дорівнює $1,$ показник степеня $c$ дорівнює $3.$ Відтак, степінь монома буде дорівнювати: $2+1+3=6.$

Виконуючи дії із мономами, необхідно використовувати властивості дій множення та піднесення до степеня, оскільки моном складається лише з таких дій. Моном $16a^{2}bc^{3}$ можна записати у вигляді добутку двох мономів стандартного вигляду, $16a^{2}bc^{3}=4abc\cdot 4ac^{2},$ та у вигляді добутку трьох мономів стандартного вигляду, тобто $16a^{2}bc^{3}=4abc\cdot 2ac\cdot 2c.$

Розгляньмо декілька прикладів. Подамо наступні мономи у стандартному вигляді.

$7((x^{3})^{4})^{2}\cdot (-2(x^{4})^{3})^{2}=7(x^{3})^{8}\cdot 4(x^{4})^{6}=28x^{48};$
$((x^{4})^{n})^{6}\cdot 2((x^{2})^{n+2})^{5}=2(x^{4})^{6n}\cdot (x^{2})^{5n+10}=2x^{24n}\cdot x^{10n+20}=2x^{24n+10n+20}=2x^{34n+20};$
$((x^{2n+3})^{4})^{n}=(x^{2n+3})^{4n}=x^{4n(2n+3)}=x^{8n^{2}+12n};$
$(a^{n+3}b^{2n})^{3}\cdot 4a^{3n}\cdot (-2b)^{2}=16a^{3n+9}\cdot a^{3n}b^{6n}\cdot b^{2}=16a^{3n+3n+9}b^{6n+2}=16a^{6n+9}b^{6n+2}.$

Поліноми (многочлени)

Поліномом називається сума кількох мономів. Наприклад, вираз $x^{4}+4ac$ складається із суми двох мономів: $x^{2}$ та $4ac,$ які називаються членами даного полінома. Членами полінома $2a^{3}-3ab-4a+10$ є $2a^{3},\,\,-3ab,\,\,-4a$ та $10.$ Вважається, що поліном може складатися лише з одного монома та що кожний моном є поліномом, який складається з одного члена.

Розгляньмо поліном $10ab-4+a-4ab+3.$ У цьому мономі є подібні доданки: $10ab$ та $-4ab,$ а також $4$ та $3.$ Доданки $10ab$ та $-4ab$ відрізняються числовими множниками (коефіцієнтами мономів, тобто $10$ та $-4$ ). Подібні доданки у поліномі називаються подібними членами полінома. Поліном $x^{2}-4ax^{2}+b$ вже не містить подібних доданків. Однак обидва наведених поліноми складаються із мономів стандартного вигляду.

Степем полінома є найбільший із степенів мономів, які є членами даного полінома. Наприклад, поліном $2a^{2}b^{2}+b^{3}-2a$ складається з тьох мономів: першого $2a^{2}b^{2},$ другого $b^{3}$ й третього $-2a.$ Степінь першого монома дорівнює $4,$ степінь другого монома дорівнює $3,$ степінь третього монома дорівнює $1.$ Найбільшим за степенем мономом є моном $2a^{2}b^{2},$ степінь якого дорівнює $4.$ Відтак й степінь полінома $2a^{2}b^{2}+b^{3}-2a$ дорівнює $4,$ тобто дорівнює найбільшому із степенів мономів, які є його членами.

Поліном стандартного вигляду - це сума мономів, що утворюють даний поліном, серед яких немає подібних членів і які розташовані у порядку спадання чи зростання показників степенів членів. Наприклад, серед поліномів

$7x^{4}+x^{3}-10x^{2}+x-5,\quad \quad 15+2a-4ac^{4}+c^{3}-a^{2}$

поліномом стандартного вигляду є поліном $7x^{4}+x^{3}-10x^{2}+x+5.$ Поліном ж $15+2a-5ac^{4}+c^{3}-a^{2}$ не є поліномом стандартного вигляду, оскільки мономи стандартного вигляду, з яких він складається, не розташовані у порядку зростання (спадання) показників степенів.

Кожний поліном є цілим виразом, але не кожний цілий вираз може називатися поліномом. Наприклад, цілі вирази $(x+1)(x-1)$ та $(x-b)^{2}$ не є поліномами, оскільки вони не є сумами мономів.

Щоб додати поліноми, необхідно звести подібні доданки, які є членами даних поліномів. Наприклад, додамо поліноми $12a^{2}-5a+7$ та $-4a^{2}+2a+20:$

$(12a^{2}-5a+7)+(-4a^{2}+2a+20)=\color {red}{12a^{2}}\color {black}{-}\color {red}{4a^{2}}\color {black}{-}\color {blue}{5a}\color {black}{+}\color {blue}{2a}\color {black}{+}\color {green}{7}\color {black}{+}\color {green}{20}=\color {red}{8a^{2}}\color {black}{-}\color {blue}{3a}\color {black}{+}\color {green}{27}.$

За віднімання здійснюється така сама процедура зведення подібних членів полінома. Наприклад, віднімемо від полінома $12a^{2}-5a+7$ поліном $-4a^{2}+2a+20:$

$(12a^{2}-5a+7)-(-4a^{2}+2a+20)=\color {red}{12a^{2}}\color {black}{+}\color {red}{4a^{2}}\color {black}{-}\color {blue}{5a}\color {black}{-}\color {blue}{2a}\color {black}{+}\color {green}{7}\color {black}{-}\color {green}{20}=\color {red}{16a^{2}}\color {black}{-}\color {blue}{7a}\color {black}{-}\color {green}{13}.$

Зверніть увагу, що мінус перед дужками обертає доданки, які в них містяться, на протилежні. Тобто $-(-4a^{2}+2a+20)=4a^{2}-2a-20.$ Зрозуміло, що додати до полінома $12a^{2}-5a+7$ поліном $-4a^{2}+2a+20$ - означає відняти від нього поліном $4a^{2}-2a-20,$ тобто наступна рівність є тотожністю:

$(12a^{2}-5a+7)-(4a^{2}-2a-20)=(12a^{2}-5a+7)+(-4a+2a+20).$

Щоб помножити моном на поліном, потрібно помножити його на кожний член полінома і отримані добутки додати. Наприклад, помножимо моном $6x^{2}$ на поліном $y^{4}+8axy-7ac.$ Використаймо розподільну властивість множення, тобто $a(b+c)=ab+ac.$ Одержимо: $6x^{2}(y^{4}+8axy-7ac)=6x^{2}\cdot y^{4}+6x^{2}\cdot 8axy-6x^{2}\cdot 7ac=6x^{2}y^{4}+48ax^{3}y-42acx^{2}.$ Взагалі, множення поліномів є комутативним, тобто $a\cdot b=b\cdot a.$ Помножимо два поліноми $8u^{5}v+16uv^{4}+v$ та $9b^{7}u^{3}:$

$(8u^{5}v+16uv^{4}+v)\cdot 9b^{7}u^{3}=9b^{7}u^{3}\cdot (8u^{5}v+16uv^{4}+v)=9b^{7}u^{3}\cdot 8u^{5}v+9b^{7}u^{3}\cdot 16uv^{4}+9b^{7}u^{3}\cdot v=72b^{7}u^{8}v+144b^{7}u^{4}v^{4}+9b^{7}u^{3}v.$

Щоб помножити поліном на поліном, необхідно кожний член одного полінома помножити на кожний член іншого полінома, а отримані добутки додати, звівши подібні доданки й подавши одержаний поліном у стандартному вигляді. Наприклад, $(a+b+1)(a-b)=a\cdot a+a\cdot (-b)+b\cdot a+b\cdot (-b)+1\cdot a+1\cdot (-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}+a+b=a^{2}-b^{2}+a+b.$

Добуток поліномів є асоціативним. Нехай дані поліноми $A=xz^{3}+3xy^{2}-xyz,\,\,B=x^{2}z-z^{3}$ та $C=ax+by-az.$ Ми стверджуємо, що $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.$ Переконаймося у цьому. Спочатку помножимо $A\cdot (B\cdot C):$

${\begin{matrix}(xz^{3}+3xy^{2}-xyz)\cdot ((x^{2}z-z^{3})\cdot (ax+by-az))=\\=(xz^{3}+3xy^{2}-xyz)\cdot (ax^{3}z+bx^{2}yz-ax^{2}z^{2}-axz^{3}-byz^{3}+az^{4})=\\=\underbrace {ax^{4}z^{4}+bx^{3}yz^{4}-ax^{3}z^{5}-ax^{2}z^{6}-bxyz^{6}+axz^{7}} _{xz^{3}(ax^{3}z+bx^{2}yz-ax^{2}z^{2}-axz^{3}-byz^{3}+az^{4})}+\\\underbrace {+3ax^{4}y^{2}z+3bx^{3}y^{2}z-3ax^{3}y^{2}z^{2}-3ax^{2}y^{2}z^{3}-3bxy^{3}z^{3}+3axy^{2}z^{4}} _{3xy^{2}(ax^{3}z+bx^{2}yz-ax^{2}z^{2}-axz^{3}-byz^{3}+az^{4})}-\\\underbrace {-ax^{4}yz^{2}-bx^{3}y^{2}z^{2}+ax^{3}yz^{2}+ax^{2}yz^{4}+bxy^{2}z^{4}-axyz^{5}.} _{-xyz(ax^{3}z+bx^{2}yz-ax^{2}z^{2}-axz^{3}-byz^{3}+az^{4})}\end{matrix}}$

Помножимо тепер у порядку $(A\cdot B)\cdot C:$

${\begin{matrix}((xz^{3}+3xy^{2}-xyz)\cdot (x^{2}z-z^{3}))\cdot (ax+by-az)=\\=(x^{3}z^{4}-xz^{6}+3x^{3}y^{2}z-3xy^{2}z^{3}-x^{3}yz^{2}+xyz^{4})\cdot (ax+by-az)=\\=\underbrace {ax^{4}z^{4}+bx^{3}yz^{4}-ax^{3}z^{5}} _{x^{3}z^{4}(ax+by-az)}\underbrace {-ax^{2}z^{6}-bxyz^{6}+axz^{7}} _{-xz^{6}(ax+by-az)}\underbrace {+3ax^{4}y^{2}z+3bx^{3}y^{3}z-3ax^{3}y^{2}z^{2}} _{3x^{3}y^{2}z(ax+by-az)}\underbrace {-3ax^{2}y^{2}z^{3}-3bxy^{3}z^{3}+3axy^{2}z^{4}-} _{-3xy^{2}z^{3}(ax+by-az)}\\\underbrace {-ax^{4}yz^{2}-bx^{3}y^{2}z^{2}+ax^{3}yz^{3}} _{-x^{3}yz^{2}(ax+by-az)}\underbrace {+ax^{2}yz^{4}+bxy^{2}z^{4}-axyz^{5}.} _{xyz^{4}(ax+by-az)}\end{matrix}}$

В результаті виконання усіх дій ми отримали два великих поліноми, які не помістилися кожний у один ряд, тому довелося записати їх частинами із їхнім переносом у наступний рядок (зауваження: перенесення частини виразу до наступного рядку здійснюється із обов'язковим перенесенням усіх знаків). Частини виразу були підписані знизу для кращого розуміння порядку здійснення дій. Неважко побачити, що одержані поліноми у обох випадках є однаковими, тобто $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C.$ Подамо отриманий поліном у стандартному вигляді, обчисливши показники степенів членів полінома й розташувавши суму мономів в порядку спадання значень їхніх показників степенів (показники степенів вказані згори над членами полінома).

$\overbrace {ax^{4}z^{4}} ^{9}\overbrace {+bx^{3}yz^{4}} ^{9}\overbrace {-ax^{3}z^{5}} ^{9}\overbrace {-ax^{2}z^{6}} ^{9}\overbrace {-bxyz^{6}} ^{9}\overbrace {+axz^{7}} ^{9}\overbrace {+3ax^{4}y^{2}z} ^{8}\overbrace {-3ax^{3}y^{2}z^{2}} ^{8}\overbrace {-3ax^{2}y^{2}z^{3}} ^{8}\overbrace {-3bxy^{3}z^{3}} ^{8}\overbrace {+3axy^{2}z^{4}} ^{8}\overbrace {-ax^{4}yz^{2}} ^{8}\overbrace {-bx^{3}y^{2}z^{2}} ^{8}+$ $\overbrace {+ax^{2}yz^{4}} ^{8}\overbrace {+bxy^{2}z^{4}} ^{8}\overbrace {-axyz^{5}} ^{8}\overbrace {+3bx^{3}y^{2}z} ^{7}\overbrace {+ax^{3}yz^{2}} ^{7}.$

Розкладання полінома на множники. Розкладання числа на множники - представлення його у вигляді добутку множників. Зокрема, ми можемо вимагати, щоб усі множники при розкладі даного числа були простими числами. Наприклад, ми можемо записати $45=5\cdot 3^{2}.$ Число 45 можна записати у вигляді добутку $15\cdot 3.$ Розкласти на множники можна й поліном. Розкласти поліном на множники - означає представити його у вигляді добутку двох або декількох поліномів. Наприклад, у поліномі $xy+xz$ можна виділити спільний множник $a$ суми $y+z,$ тобто $x(y+z)=xy+xz.$ Тут ми скористалися розподільною властивістю множення і винесли спільний множник членів полінома за дужки. Розгляньмо декілька прикладів:

$5x^{4}y-30x^{2}y^{2};$ спочатку віднайдемо найбільший спільний дільник абсолютних величин коефіцієнтів $5$ та $(-30),$ зокрема ${\text{НСД}}(|5|;\,|-30|)=5;$ степінь $2$ із основою $x$ входить в якості множника до обох членів $5x^{4}y-30x^{2}y^{2}$ даного поліному, тобто $5x^{4}y-30x^{2}y^{2}=x^{2}(5x^{2}y-30y^{2});$ степінь $1$ із основою $y$ також входить в якості множника до членів $5x^{4}y$ та $-30x^{2}y^{2},$ тобто $5x^{4}y-30x^{2}y^{2}=y(5x^{4}-30x^{2}y);$ отже, за дужки можна винести моном $5x^{2}y,$ тобто $5x^{4}y-30x^{2}y^{2}=5x^{2}\cdot x^{2}\cdot y-6x^{2}y\cdot 5y=5x^{2}y(5x^{2}-6y).$
$8+4x;\quad$ ${\text{НСД}}(|8|;|4|)=4;\quad$ $8+4x=4(2+x);$
$15x-10;\quad$ ${\text{НСД}}(|15|;|-10|)=5;\quad$ $15x-10=5(3x-2);$
$3x+3xy;\quad$ ${\text{НСД}}(|3|;|3|)=3;\quad$ $3x+3xy=3x(1+y);$
$15x-25y;\quad$ ${\text{НСД}}(|15|;|-25|)=5;\quad$ $15x-25y=5(3x-5y);$
$am+km=m(a+k);$
$8xz-6xy;\quad$ ${\text{НСД}}(|8|;|-6|)=2;\quad$ $8xz-6xy=2x(4z-3y);$
$-24x-18x^{3};\quad$ ${\text{НСД}}(|-24|;|-18|)=6;\quad$ $-24-18x^{3}=6x(-4-3x^{2});$
$-9x^{5}-27x^{3}+18x^{4};\quad$ ${\text{НСД}}(|-9|;|-27|;|18|)=9;\quad$ $-9x^{5}-27x^{3}+18x^{4}=9x^{3}(-x^{2}+2x-3);$
$2a^{4}-a^{3}-a^{2};\quad$ $2a^{4}-a^{3}-a^{2}=a^{2}(2a^{2}-a-1).$

Розкладати поліном на множники можна й способом групування, який полягає у перегрупуванні доданків полінома й подальшому об'єднанні у групи таким чином, щоб після винесення (якщо це можливо) спільного множника з кожного доданка у даній групі у дужках отримувався вираз, який, у свою чергу, є спільним множником вже для кожної групи.

Розгляньмо добуток поліномів $(a-b)$ та $(x+y),$ тобто $(a-b)(x+y)=ax+ay-bx-by.$ У отриманому поліномі члени $ax$ та $ay$ мають спільний множник $a;$ члени $-bx$ та $-by$ мають спільний множник $(-b).$ Таким чином, маємо дві групи членів полінома: $ax+ay$ та $-bx-by.$ У кожній групі можна винести спільний множник за дужки, тобто $a(x+y)-b(x+y).$ Розгляньмо перетворення у зворотному порядку: $ax+ay-bx-by=(ax+ay)-(bx+by)=a(x+y)-b(x+y)=(x+y)(a-b).$ Описаний спосіб розкладу полінома на множники називається способом групування. Застосовуючи цей спосіб, необхідно групувати члени таким чином, щоб з отриманих груп можна було виділити спільний множник.

Розгляньмо декілька прикладів:

$(a+b)(x-y)=ax-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y);$
$3xy+12by+9x-4by^{2}=(3xy+9x)-(4by^{2}+12by)=3x(y+3)-4by(y+3)=(y+3)(3x-4by);$
$a^{2}-5a+6;$ подамо член $-5a$ у вигляді різниці $-3a-2a;$ тоді $a^{2}-3a-2a+6=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2);$
$2x^{3}y(-5y^{4}+2xy)=-10x^{3}y^{5}+4x^{4}y^{2};$
$(2x+y-3z)\cdot (-5yz^{2})=10xyz^{2}-5y^{2}z^{2}-15yz^{3};$
$-4k^{3}n(kn^{2}-kn-n^{2})-(2mn)^{3}\cdot ((m^{5n+1}n^{2})^{8})^{0}=-4k^{4}n^{3}+4k^{4}n^{2}+4k^{3}n^{3}-8m^{3}n^{3}\cdot 1=-4k^{4}n^{3}+4k^{4}n^{2}+4k^{3}n^{3}-8m^{3}n^{3};$
$a^{2}b\cdot (1+2a+b^{3})-(a^{3}b^{3}+b^{4})=a^{2}b+2a^{3}b+a^{2}b^{4}-a^{3}b^{3}-b^{4}=a^{2}b^{4}-a^{3}b^{3}-b^{4}+2a^{3}b+a^{2}b;$
$(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)(t-e)(t-f)...(t-x)(t-y)(t-z);$ тут перемножуються послідовно різниці $t$ та змінних, позначених символами латинської абетки. Варто звернути увагу, що серед множників є також й $(t-t)=0,$ внаслідок чого весь добуток перетворюється на нуль. Таким чином, $(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)(t-e)(t-f)\cdot \cdot \cdot (t-x)(t-y)(t-z)=0.$
Нехай деяке число $a$ при діленні на 6 діє в остачі 4, а друге число $b$ при діленні на 6 в остачі дає 3. Необхідно довести, що їх добуток, $a\cdot b,$ ділиться на $6$ без остачі. Зрозуміло, що $a=6k+4,$ де $n$ - неповна частка від ділення $a:6,$ а $b=6l+3,$ де $l$ - неповна частка від ділення $b:6.$ Розгляньмо добуток $(6k+4)(6l+3)=36kl+18k+24l+12.$ Члени полінома $36kl+18k+24l+12$ містять коефіцієнти $36,\,18,\,24,\,12,$ які діляться націло на $6.$ Ми можемо винести число $6$ за дужки: $6(6kl+3k+4l+2).$ Це означає, що добуток $ab$ ділиться на $6.$
Нехай довжина прямокутника на 4 см більша за ширину. Якщо його довжину зменшити на 1 см, а ширину збільшити на 2 см, то площа стане на 10 см ${}^{2}$ більшою. Необхідно віднайти розміри зміненого прямокутника. За умовою задачі, його ширина складає $b,$ а довжина на 4 більша від ширини: $a=b+4.$ Площа (в загальному, площа прямокутника обчислюється як добуток довжини і ширини $S=a\cdot b$ ) у такому випадку буде становити $S_{1}=b(b+4).$ Зменшимо його довжину на $1$ см, тобто $b+4-1=b+3,$ а ширину збільшимо на 2 см, тобто $b+2$ см. Нова площа становитиме $S_{2}=(b+3)(b+2)$ см ${}^{2},$ що на 10 см ${}^{2}$ більше від площі $b(b+4),$ тобто $S_{2}-S_{1}=10$ см ${}^{2}.$ Таким чином, можна записати $(b+3)(b+2)-b(b+4)=10\Rightarrow b^{2}+2b+3b+6-b^{2}-b4=10\Rightarrow b+6=10\Rightarrow b=10-6\Rightarrow b=4.$ Таким чином, довжина прямокутника складає $8$ см, ширина $4$ см.

← Натуральні числа · Раціональні числа →