Основні числові системи/Цілі числа

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Логотип Вікіпедії
Вікіпедія має пов'язану з цією темою інформацію на сторінці Цілі числа

У загальному випадку операція віднімання у множині натуральних чисел не виконується, оскільки не кожна пара натуральних чисел має образ у за відображення Іншими словами, якщо то значення виразу у загальному випадку не належить множині натуральних чисел, тобто Це стало причиною для збільшення множини натуральних чисел до множини цілих чисел.

При розширенні натуральних чисел натуральних чисел до множини цілих чисел необхідно щоб система цілих чисел відповідала певним властивостям по відношенню до системи зокрема:

  • система повинна бути підмножиною тобто ;
  • на системі повинні бути визначені операції додавання та множення, причому таким чином, щоб сума й добуток двох натуральних чисел та як елементів системи співпадали відповідно із сумою та добутком чисел у системі ;
  • операції додавання та множення, визначені на повинні мати ті самі властивості (розподільну, сполучну й переставну), що й операції додавання й множення натуральних чисел;
  • у системі повинна виконуватися операція віднімання (тобто ми не накладаємо на вираз умову що читається "для усіх більше ").

Цілі числа - це натуральні числа протилежні до них та число Вважається, що число є протилежним самому собі. Їх можна зобразити на числовій прямій.

Cili-chislla.tif

Вираз означає, що записане число протилежне числу Таким чином, приписавши знак до числа отримаємо протилежне до нього, тобто Повторне застосування операції обернення, наприклад в результаті дає число, протилежне до оберненого числа, тобто Взагалі, Варто зауважити, що використання дужок є обов'язковим. Запис виду не вживають. Зрозуміло, що тощо. У виразах, наприклад, , пишуть

У виразах, де застосовується множення чи ділення, наприклад чи від'ємне число записується у дужках. При множенні додатного цілого числа на від'ємне ціле число добуток буде від'ємним цілим числом; якщо від'ємне число множиться на від'ємне число , то добуток буде додатним числом: . Добуток трьох від'ємних чисел - від'ємне число, (тут ми винесли мінус за дужки) тощо.

Операція ділення у загальному випадку не виконується у системі цілих чисел, оскільки, наприклад, значення виразу не належить множині Тобто число не ділиться націло на число Так само число не ділиться націло на число тощо. Таким чином, вважаючи змінну цілим числом, ділення довільного цілого числа на тобто або вважається не визначеним в загальному випадку (або частково (тобто не усюди на ) визначеним у сенсі часткового відображення ).

Абсолютна величина[ред.]

Абсолютною величиною цілого числа називається невід'ємне з чисел та і позначається Наприклад, абсолютною величиною числа є число Таким чином, модуль додатного числа є число додатне, а модуль від'ємного числа - число, протилежне йому, . Зрозуміло, що модуль набуває лише невід'ємних значень. Вважається, що модуль числа дорівнює нулю, тобто

Геометричний зміст поняття абсолютної величини полягає у тому, що абсолютна величина означає відстань від початку відліку до відзначеної точки, яка позначає відповідне число на координатній прямій. Тобто на скільки одиниць даної числової прямої віддалена дана точка від початку відліку Позначмо на числовій прямій точки та Точка віддалена на 5 одиниць від початку відліку тобто Точка знаходиться на відстані 3 одиниці від точки початку відліку тобто

Abs53.tif

Цілі вирази[ред.]

Розгляньмо дві групи виразів: першу

та другу

Перша група виразів не містить дії ділення на вираз із змінними. Такі вирази називаються цілими. Вирази ж другої групи містять дію ділення на вираз зі змінними і називаються дробовими виразами. У виразах дію множення часто не вживають, і замість пишуть просто Таким самим чином перед дужками знак дії множення не вживається, наприклад, У подальшому знак дії множення перестане вживатися у подібних випадках.

Як згадувалося на початку, вирази зі змінними використовуються для запису формул. Наприклад, формулами можна задати цілі числа, що діляться на задане натуральне число і дають одну і ту саму остачу. Якщо кожне з чисел та ділиться націло на число то й сума також ділиться націло на Якщо ж число ділиться націло на а число не ділиться на то й сума не ділиться на Разом із діленням націло розглядають ділення із остачею. Наприклад, із остачею 3. Таким чином, де - остача, а - неповна частка від ділення. У нашому прикладі, Таким чином, остача , неповна частка Взагалі, щоб розділити ціле число на натуральне число із остачею, потрібно знайти такі цілі числа та щоб справджувалася рівність де Остач від ділення цілих чисел на натуральне число може бути

Наприклад, знайдемо остачу від ділення числа на Для цього запишемо число у вигляді де та - цілі числа і Щоб знаходилося у межах від до потрібно взяти Таким чином, за справджується рівність

Нехай та - відрізки і відрізок є довшим за відрізок тобто (або ). Вкладімо відрізок до відрізку стільки разів, скільки можливо; отримаємо остачу На наступному малюнку видно, що відрізок довжиною може вмістити відрізків довжиною таким чином, можна записати

Immersionbsegment.tif

Далі, вкладімо відрізок остачі до відрізку стільки разів, скільки можливо (по аналогії із вкладанням до ); зокрема, Утвориться остача

Immersionbsegment12.tif

Аналогічним чином вкладімо послідовно відрізки до відрізки до тощо. Якщо, відкладаючи черговий відрізок до ми не отримаємо остачі (точніше, отримаємо нульову остачу ), то відрізок довжини є найбільшою спільною мірою відрізків довжин та

Якщо та є цілими, то усі остачі також цілі невід'ємні. В силу лінійного порядку (або, що те саме, ) процес рано чи пізно закінчиться. Останнє ненульове число є найбільшим спільним дільником чисел та тобто

Метод порівняння[ред.]

Два числа та при діленні на натуральне число дають один і той самий залишок у питаннях подільності по відношенню до мають ряд однакових властивостей. Зокрема, будь-який спільний дільник чисел та буде одночасно й спільним дільником для та Зокрема, найбільший спільний дільник для пари чисел та співпадає із найбільшим спільним дільником чисел та Справді, якщо та дають при діленні на одну і ту саму остачу то

тому різниця ділиться на Число є неповною часткою при діленні на а число є неповною часткою при діленні на Відтак,

Числа та прийнято називати порівнюваними за модулем якщо обидва числа та дають однакову остачу при діленні на Це позначається наступним чином: При визначенні порівнюваності двох чисел та вимога рівності остач від ділення на спільний дільник може бути замінена рівносильною, але більш зручною для перевірки вимогою щоб різниця двох даних чисел ділилася на модуль У нашому прикладі

Цілі числа при діленні на можуть давати в остачі лише або Відповідно, цілі числа розшаровуються на 3 класи по модулю :

Цілі числа Остача при діленні на 3 Вираз
0
1
2

Про числа говорять, що вони націло діляться на число Взагалі, число класів по модулю дорівнює тобто Клас, що характеризується даною остачею утворюють числа виду де - будь-яке ціле число.


Тотожні вирази[ред.]

Вирази називаються тотожними, якщо за будь-яких значень змінних, які до них входять, значення цих виразів дорівнюють одне одному. Наприклад, нехай маємо вирази та Якщо підставити значення та то отримаємо рівності

У цьому випадку кажуть, що два вирази та є тотожно рівними. Якщо два тотожно рівні вирази та сполучити відношенням рівності то отримаємо рівність яка справджується за будь-яких значень та Така рівність виразів називається тотожністю.

Прикладами тотожностей, перш за все, є закони, які виражають властивості операцій додавання та множення чисел:

  • переставна властивість:
  • сполучна властивість:
  • розподільна властивість:

Правила розкриття дужок також виражаються тотожностями:

Зрозуміло при цьому, що якщо перед дужками стоїть знак то дужки розкриваються зі зміною знаків доданків на протилежні. Наприклад, або Тотожностями є й наступні рівності:

Один вираз можна замінити іншим, більш коротким, якщо звести подібні доданки. Наприклад, у виразі подібні доданки - це та що утворюють першу групу подібних доданків; другу групу подібних доданків утворюють числа та Вести подібні доданки - значить скоротити вираз, здійснивши операції над усіма групами доданків, тобто та В результаті ми отримуємо короткий вираз який є тотожно рівним виразу Така процедура називається спрощенням виразу. Ще раз, спростимо вираз

Тотожні перетворення використовуються для доведення тотожностей. Щоб довести тотожність, можна скористатися одним із наступних способів:

  • ліву частину відносно знаку шляхом тотожних перетворень звести до правої;
  • праву частину відносно знаку звести до лівої;
  • обидві частини (ліву та праву) звести до одного і того ж виразу;
  • відняти від лівої частини праву і запевнитися, що різниця дорівнює нулю.

У рівності ліва частина позначена червоним кольором, а права - синім: Перетворимо ліву частину цієї рівності: Таким чином, права і ліва частини співпадають і є тотожностями. При перенесенні виразів та їх частин з однієї частини рівності до іншої, вони змінюють свої знаки. У рівності перенесемо вираз праворуч відносно рівності у ліву частину: Таким чином, тотожність доведена.

Степінь числа з натуральним показником[ред.]

Степінь числа з натуральним показником - це добуток, що складається з множників тобто Читається: степінь з основою Наприклад, Тут показником степені є число а основою число У випадку, якщо основа - від'ємне число, наприклад, то необхідно враховувати операцію обернення , тобто Степінь числа із показником степені дорівнює Наприклад, Якщо вважати то існує правило, що якщо показник степеня із основою дорівнює нулю, тобто то

Для будь-якого цілого та натуральних чисел та справджується рівність Зокрема,

Така властивість степеня називається основною і формулюється наступним чином: щоб помножити степені з однаковими основами, необхідно основу залишити, а показники степенів додати. Наприклад,

Для будь-якого цілого і натуральних та за умови справедлива рівність Зокрема, Таким чином, щоб розділити степені з однаковими основами, необхідно основу залишити, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника. Наприклад,

Щоб піднести степінь до степеня, необхідно основу залишити, а показники степенів перемножити: Зокрема, наприклад,

Таким чином,

Операція піднесення до степеня є дією третього ступеня і має більший пріорітет, ніж множення та ділення. Таким чином, додавання та віднімання - дії першого ступеня, множення та ділення - дії другого ступеня, а піднесення до степеня - дія третього ступеня.

Для будь-яких цілих чисел та та натурального числа справедлива рівність: Таким чином, Щоб піднести до степеня добуток, необхідно піднести до цього степеня кожний множник та перемножити їх. Зокрема, наприклад,

Мономи (одночлени)[ред.]

Мономом називається добуток чисел, змінних та їхніх степенів. Окреме число або змінна також є мономом. Наприклад, розгляньмо дві групи виразів: першу

та другу

Вирази першої групи є мономами, а вирази другої - ні, оскільки до виразів другої групи входить не добуток, а частка чи сума.

У мономі числовий множник записаний першим, називається коефіцієнтом монома. Коефіцієнт, записаний першим, разом із степенями змінних, називається мономом стандартного вигляду. Наприклад, серед мономів

мономом стандартного вигляду є моном Тобто мономом стандартного вигляду називається такий моном, який містить лише один числовий множник, розміщений на першому місці ліворуч, і степені різних змінних. Щоб подати моном у стандартному вигляді, необхідно знайти його коефіцієнт, який дорівнює добутку усіх числових множників, знайти добутки всіх степенів однакових змінних й записати результат у вигляді добутку, перший множник якого - отриманий коефіцієнт. Наприклад, подамо моном у стандартному вигляді. Для початку зведімо у степінь Згрупуймо подібні множники таким чином, щоб числовий множник знаходився ліворуч: Таким чином, моном є мономом стандартного вигляду. Зробімо те саме із мономом Отримаємо Моном є мономом стандартного вигляду.

Степенем монома є сума показників степенів змінних, що входять до його складу. Якщо мономом є число, відмінне від нуля, то степінь монома вважають рівним нулю. Наприклад, у мономі є три змінні - та Показник степеня дорівнює показник степеня дорівнює показник степеня дорівнює Відтак, степінь монома буде дорівнювати:

Виконуючи дії із мономами, необхідно використовувати властивості дій множення та піднесення до степеня, оскільки моном складається лише з таких дій. Моном можна записати у вигляді добутку двох мономів стандартного вигляду, та у вигляді добутку трьох мономів стандартного вигляду, тобто

Розгляньмо декілька прикладів. Подамо наступні мономи у стандартному вигляді.

Поліноми (многочлени)[ред.]

Поліномом називається сума кількох мономів. Наприклад, вираз складається із суми двох мономів: та які називаються членами даного полінома. Членами полінома є та Вважається, що поліном може складатися лише з одного монома та що кожний моном є поліномом, який складається з одного члена.

Розгляньмо поліном У цьому мономі є подібні доданки: та а також та Доданки та відрізняються числовими множниками (коефіцієнтами мономів, тобто та ). Подібні доданки у поліномі називаються подібними членами полінома. Поліном вже не містить подібних доданків. Однак обидва наведених поліноми складаються із мономів стандартного вигляду.

Степем полінома є найбільший із степенів мономів, які є членами даного полінома. Наприклад, поліном складається з тьох мономів: першого другого й третього Степінь першого монома дорівнює степінь другого монома дорівнює степінь третього монома дорівнює Найбільшим за степенем мономом є моном степінь якого дорівнює Відтак й степінь полінома дорівнює тобто дорівнює найбільшому із степенів мономів, які є його членами.

Поліном стандартного вигляду - це сума мономів, що утворюють даний поліном, серед яких немає подібних членів і які розташовані у порядку спадання чи зростання показників степенів членів. Наприклад, серед поліномів

поліномом стандартного вигляду є поліном Поліном ж не є поліномом стандартного вигляду, оскільки мономи стандартного вигляду, з яких він складається, не розташовані у порядку зростання (спадання) показників степенів.

Кожний поліном є цілим виразом, але не кожний цілий вираз може називатися поліномом. Наприклад, цілі вирази та не є поліномами, оскільки вони не є сумами мономів.

Щоб додати поліноми, необхідно звести подібні доданки, які є членами даних поліномів. Наприклад, додамо поліноми та

За віднімання здійснюється така сама процедура зведення подібних членів полінома. Наприклад, віднімемо від полінома поліном

Зверніть увагу, що мінус перед дужками обертає доданки, які в них містяться, на протилежні. Тобто Зрозуміло, що додати до полінома поліном - означає відняти від нього поліном тобто наступна рівність є тотожністю:

Щоб помножити моном на поліном, потрібно помножити його на кожний член полінома і отримані добутки додати. Наприклад, помножимо моном на поліном Використаймо розподільну властивість множення, тобто Одержимо: Взагалі, множення поліномів є комутативним, тобто Помножимо два поліноми та

Щоб помножити поліном на поліном, необхідно кожний член одного полінома помножити на кожний член іншого полінома, а отримані добутки додати, звівши подібні доданки й подавши одержаний поліном у стандартному вигляді. Наприклад,

Добуток поліномів є асоціативним. Нехай дані поліноми та Ми стверджуємо, що Переконаймося у цьому. Спочатку помножимо

Помножимо тепер у порядку

В результаті виконання усіх дій ми отримали два великих поліноми, які не помістилися кожний у один ряд, тому довелося записати їх частинами із їхнім переносом у наступний рядок (зауваження: перенесення частини виразу до наступного рядку здійснюється із обов'язковим перенесенням усіх знаків). Частини виразу були підписані знизу для кращого розуміння порядку здійснення дій. Неважко побачити, що одержані поліноми у обох випадках є однаковими, тобто Подамо отриманий поліном у стандартному вигляді, обчисливши показники степенів членів полінома й розташувавши суму мономів в порядку спадання значень їхніх показників степенів (показники степенів вказані згори над членами полінома).

Розкладання полінома на множники. Розкладання числа на множники - представлення його у вигляді добутку множників. Зокрема, ми можемо вимагати, щоб усі множники при розкладі даного числа були простими числами. Наприклад, ми можемо записати Число 45 можна записати у вигляді добутку Розкласти на множники можна й поліном. Розкласти поліном на множники - означає представити його у вигляді добутку двох або декількох поліномів. Наприклад, у поліномі можна виділити спільний множник суми тобто Тут ми скористалися розподільною властивістю множення і винесли спільний множник членів полінома за дужки. Розгляньмо декілька прикладів:

  • спочатку віднайдемо найбільший спільний дільник абсолютних величин коефіцієнтів та зокрема степінь із основою входить в якості множника до обох членів даного поліному, тобто степінь із основою також входить в якості множника до членів та тобто отже, за дужки можна винести моном тобто

Розкладати поліном на множники можна й способом групування, який полягає у перегрупуванні доданків полінома й подальшому об'єднанні у групи таким чином, щоб після винесення (якщо це можливо) спільного множника з кожного доданка у даній групі у дужках отримувався вираз, який, у свою чергу, є спільним множником вже для кожної групи.

Розгляньмо добуток поліномів та тобто У отриманому поліномі члени та мають спільний множник члени та мають спільний множник Таким чином, маємо дві групи членів полінома: та У кожній групі можна винести спільний множник за дужки, тобто Розгляньмо перетворення у зворотному порядку: Описаний спосіб розкладу полінома на множники називається способом групування. Застосовуючи цей спосіб, необхідно групувати члени таким чином, щоб з отриманих груп можна було виділити спільний множник.

Розгляньмо декілька прикладів:

  • подамо член у вигляді різниці тоді
  • тут перемножуються послідовно різниці та змінних, позначених символами латинської абетки. Варто звернути увагу, що серед множників є також й внаслідок чого весь добуток перетворюється на нуль. Таким чином,
  • Нехай деяке число при діленні на 6 діє в остачі 4, а друге число при діленні на 6 в остачі дає 3. Необхідно довести, що їх добуток, ділиться на без остачі. Зрозуміло, що де - неповна частка від ділення а де - неповна частка від ділення Розгляньмо добуток Члени полінома містять коефіцієнти які діляться націло на Ми можемо винести число за дужки: Це означає, що добуток ділиться на
  • Нехай довжина прямокутника на 4 см більша за ширину. Якщо його довжину зменшити на 1 см, а ширину збільшити на 2 см, то площа стане на 10 см більшою. Необхідно віднайти розміри зміненого прямокутника. За умовою задачі, його ширина складає а довжина на 4 більша від ширини: Площа (в загальному, площа прямокутника обчислюється як добуток довжини і ширини ) у такому випадку буде становити Зменшимо його довжину на см, тобто а ширину збільшимо на 2 см, тобто см. Нова площа становитиме см що на 10 см більше від площі тобто см Таким чином, можна записати Таким чином, довжина прямокутника складає см, ширина см.

Натуральні числа · Раціональні числа